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巡回式の不等式|思考力を鍛える数学

数学オリンピックでは頻出の不等式の証明問題です.特に,問題のように巡回式の形になっているものはよく見かけます. ここで,$3$変数有理式 $f(a,b,c)$ が巡回式とは, $$f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)$$ ...
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巡回した連立方程式|思考力を鍛える数学

巡回型の連立方程式の問題は数学オリンピック等ではよく出題されます.愚直に計算するというよりも巡回式であることを利用した式変形の工夫でうまく解くことが要求されています.今回は愚直に計算しても解くことができる問題ですが,あまりに計算が複雑すぎ...
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Schurの不等式|思考力を鍛える数学

数学オリンピックなどでしばしば登場するSchurの不等式について解説します. Schur (シューア,シュール) の不等式は知名度が低くマニアックな不等式ですが,数学オリンピックなどでしばしば題材にされています. Schurの不等式: $x...
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正八角形の一部の面積|思考力を鍛える数学

日本数学オリンピック(JMO)2021 の第2問の類題です. 解答例 対称性より,求めるべき面積は下図の色のついた部分の面積と同じです. つぎに,下図のように正八角形に対角線をひくと,短い対角線と長い対角線は平行になります. そこで,...
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分数と循環小数の変換|思考力を鍛える数学

循環小数とはある桁から先で同じ数の列が無限に繰り返す (循環する) 小数のことです. また,循環節とは循環小数で繰り返される数の最短の列のことです. 例 ・$\frac{1}{3}=0.333333\ldots$ は $3$ が無限に繰り返...
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和が一定であるような二つの素数の積の最大値|思考力を鍛える数学

日本数学オリンピック(JMO)2021 の第1問の類題です. ヒント・考え方 とりあえず $p,q$ が素数であることは忘れて,単なる整数だったらどうなるでしょう. ふたつの数の和が一定のとき,その積が最大となるのはちょうど半分ずつになっ...
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有理数の和の不等式の証明|思考力を鍛える数学

不等式の証明問題です.左辺は $2020$ 個の有理数の和になっていて,右辺は $2021$ 個の項の和から $2021$ をひいたものになっています.右辺は直接計算できそうですが,左辺を直接計算するのは難しそうです.どのように工夫すれば...
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