思考力を鍛える数学

漸化式を解く問題の中で，最も基礎的なタイプである $a_{n+1}=pa_n+q$ 型の解き方を３つ紹介します． 初項 $a$ と漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ によって定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項の求め方を考えてみま...

２直線の平行・垂直条件の公式を解説します．特に，垂直条件は基本的で重要です． $2$ 直線 $y=m_1x+n_1，y=m_2x+n_2$ について，考えてみましょう．$2$ 直線は，平行ならばその傾きは等しく，逆に傾きが等しいときは平行で...

チェビシェフの不等式について解説します．確率論でもチェビシェフの不等式という名前のものがありますが，今回紹介するものとは別のものです． チェビシェフの不等式：　実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_...

平方完成とは，$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c$ を式変形して，$a(x+p)^2+q$ という形にすることです．たとえば，$2$ 次方程式 $x^2+4x+1$ を平方完成すると，$(x+2)^2-3$ となり，$-2x^2+3x-...

並べ替え不等式とは，$2n$ 個の実数 $x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_n$ に対する次の不等式のことです． 並べ替え不等式：　$x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n，y_1\g...

二項係数について成り立ついろいろな公式について，その意味合いとともに紹介します． 二項係数 ${}_n \mathrm{C} _k$ とは，$n$ 個のものの中から，$k$ 個のものを順序を考慮せず選ぶ選び方の総数です．ここで，自然数 $k...

円と直線の位置関係を，それぞれの式を利用して判断する方法を $2$ 通り紹介します． 平面上に円と直線が位置しているとき，これらふたつの位置関係は次の $3$ パターンあります． どのような条件が成り立つとき，どのパターンになるのでしょう...