$4$ 変数の連立方程式の処理

問題の説明

$4$ 変数の連立方程式の問題ですが $3$ つの式しかないので，この連立方程式の解には自由度があります．今回は単に解くのではなく，結論を示すためにどのような式変形をすればよいかを考える必要があります．$|a|=|c|$ かつ $|b|=|d|$ というのは，$a^2=c^2$ かつ $b^2=d^2$ と同値なので，これを示す方針で解きます．

単純に解く

単純な式変形で解くことができます．
第一式より， $b^2=1-a^2$ なので,これを $a^2d^2=b^2c^2$ に代入して， $$a^2d^2=(1-a^2)c^2$$ これと，$c^2+d^2=1$ より $d$ を消去して，$a^2(1-c^2)=(1-a^2)c^2$ となる． したがって，$a^2=c^2$．これを $c^2+d^2=1$ に代入すれば，$d^2=1-a^2$ より，$b^2=d^2$ となるので，$|a|=|c|$ かつ $|b|=|d|$ です．

変数変換して解く

他の解法としては，変数変換が考えられます． $0 \le x <2\pi,0 \le y <2\pi$ を満たす実数 $x,y$ を用いて， $$a=\sin x,\ b=\cos x,\ c=\sin y,\ d=\cos y$$ とかけます．すると，$ad-bc=0$ より， $$\sin x\cos y-\cos x \sin y=\sin(x-y)=0$$ よって，$x=y,\ y+\pi,y-\pi$ のいずれかです．いずれにしても $|a|=|c|$ かつ $|b|=|d|$ が成り立ちます．

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余裕があれば，この問題の図形的意味を考えてみてください．