問 一辺の長さが $a$ である正七角形の, $2$ 種類の対角線の長さをそれぞれ $b,c$ とするとき,
$$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
が成り立つことを示せ.
2016/6/9
幾何
★☆☆☆☆
マイナーですが,正七角形の辺と対角線に関する美しい公式です.
トレミーの定理を知っている人は,この問題はとても簡単かもしれません.ここでは,$2$ 通りの解答を紹介します.
三辺が $a,b,c$ の三角形の内角に注目すると,それぞれの角度が $\frac{\pi}{7},\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7}$ であることが容易にわかります.
したがって,正弦定理より,
$$\frac{\sin \left( \frac{\pi}{7} \right)}{a}=\frac{\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}{b}=\frac{\sin \left(\frac{4\pi}{7} \right)}{c}=\frac{1}{2R}$$
であることがわかります.ここで,$R$ はこの三角形の外接円の半径です.
すると,
$$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2R}\left( \frac{1}{\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}+\frac{1}{\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)} \right)
\\ =\frac{\sin \left( \frac{\pi}{7} \right)}{a}\left( \frac{1}{\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}+\frac{1}{\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)} \right)$$
となるので,$$\sin \left( \frac{\pi}{7} \right)\left( \frac{1}{\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}+\frac{1}{\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)} \right)=1$$
を示せばよいです.倍角公式や,和積公式を用いると,
$$\sin \left( \frac{\pi}{7} \right)\left( \frac{1}{\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}+\frac{1}{\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)} \right)=\sin \left( \frac{\pi}{7} \right) \left( \frac{\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)+\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}{\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)} \right) \\
=\frac{\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)+\sin \left( \frac{2\pi}{7} \right)}{2 \cos \left(\frac{\pi}{7} \right) \sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)} \\
=\frac{2 \sin \left(\frac{3\pi}{7} \right) \cos \left( \frac{\pi}{7} \right)}{2 \cos \left(\frac{\pi}{7} \right) \sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)}=1$$
となります ($\sin \left( \frac{3\pi}{7} \right)=\sin \left( \frac{4\pi}{7} \right)$ に注意してください).したがって,
$$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
が成り立ちます.
実は,この問題はトレミーの定理を用いるといとも簡単に解けてしまいます.
上図のように,補助線を引きます.正七角形は当然,円に内接しているので,トレミーの定理より,
$$bc=ac+ab$$
が成り立ちます.両辺に $\frac{1}{abc}$ をかけると,
$$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
となります.
調和のとれた美しい式ですね.