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問題の説明

頭を柔らかくして解くパズルのような問題です.問題文の曖昧な点を補足しましょう.問題の図には$A,B,C,D$の$4$種類のアルファベットがかかれた四角が$2$つずつ,計$8$つあります.問題は,太い大きな外枠をはみでないように,同じアルファベット同士を連続曲線で結ぶことです.ただし,どの曲線同士も交差してはいけません.そのようなことは可能でしょうか.

より簡単な問題の例

本題の解説に入る前にもっと簡単な例でイメージをつかんでみましょう.下の図をみてください.

もし,問題がこのような図であったなら,だれでも迷わずに答えを導くことができます.次のようにすればよいです.

では次の図はどうでしょうか.

このような図の場合は,どのように連続曲線を描いても必ず交差するところが出てきてしまいます.

$A$も$B$も外枠に接しているのでこのようなことが起きてしまします.では,本題の図はどうでしょうか. $A$と書かれた四角は$2$つとも外枠に接しています.$B,C,D$と書かれた四角はそれぞれ$1$つだけ外枠に接しています.上で見たような考察で単純に考えればなんだかできそうな気がしてきます.以下,解説です.2通りの考え方を紹介します.

解法1-領域の分割-

題意を満たすように曲線を結ぶことが可能であることを示します.
この問題は手を動かして直感的に考える問題に見えますが,きちんと論理的に筋道立てて考えることもできます.$A$に注目してください.上で見たように,$A$の書かれた四角は$2$つとも外枠に接しています.これはつまり,$A$同士を結んだ曲線は必ず全体を$2$分する,ということです.下図のように,$2$分された領域のうち,左側を$X$,右側を$Y$とします.

ここで,領域 $X$ には必ず外枠と接した$B$,$D$が含まれます.同様に,領域 $Y$ には必ず外枠と接した$C$が含まれます.これが最大のポイントです.曲線同士は交差してはいけないので,もう一方の$B,D$も必ず領域$X$に含まれなければいけません.同様にもう一方の$C$も必ず領域$Y$に含まれなければいけません.したがって,$A$を結ぶ曲線の通るべき道が決定します.

この図を見ればあとはすぐにわかると思います.次のように結べばOKです.

解法2-連続変形-

別のやり方で解いてみましょう.解法1のようなロジカルな考え方とは違って,より直感に近い考え方を用います.まず,外枠に接していない$C,D$を動かした下の図をご覧ください.

この図ならば,簡単に曲線を交差しないようにひくことが可能だとわかります.このようにして曲線をひいた後に,$C,D$を問題の位置に連続的に戻していきます.まず,$D$を元の位置に戻すと次のようになります.

最後に$C$を元の位置に戻せば,OKです.


海外のどこかの入社試験で出されたらしい問題の改題です.