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問題の観察

幾何の基礎的な問題です.最近久しく幾何の問題を解いていなかった人にとってはちょうど良いウォーミングアップになるでしょう.少し簡単すぎるかもしれません.
まず,問題文に現れる数学用語の定義を説明します.

外心とは,三角形の$3$辺の垂直二等分線の交わる点です.
垂心とは,頂点から対辺へ下ろした垂線の交わる点です.

方針・考え方

一致を示す問題ですから,方針は$2$通りあって,$△ABC$の外心が実は$△PQR$の垂心であることを示すか,その逆を示すかのどちらかをすれば良いです.どちらの方法でもこの場合は特に難易度に差異はありません.

簡単な解説

問題の図

$△ABC$の外心が実は$△PQR$の垂心であることを示してみましょう. $△PQR$の垂心を$O$とします. 中点連結定理より,$AB // RQ$であるから,$OP \perp AB$. したがって,$OP$は線分$AB$の垂直二等分線です.同様にして,$OQ$は線分$BC$の垂直二等分線,$OR$は線分$AC$の垂直二等分線です.よって$△PQR$の垂心は$△ABC$の外心と一致します.この議論を逆にたどれば,逆方向の場合も示せます.(その必要はないですが)


息抜き程度の問題も積極的に提示していきたいです.