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問題文の意味

不等式の証明問題です.左辺はべき乗の形をしています.右辺は階乗の形をしています.
例えば,$n=1$のときは, $$1^1 \ge 1!$$ となり明らかに成り立ちます. $n=2$のときは, $$2^3 \ge 3!$$ すなわち $$8 \ge 6$$ となり,確かに成り立ちます.

一般の$n$に対して不等式が常に成り立つことを示すのが問題です.特別にマニアックな知識は必要としません.

方針・考え方

基本的に不等式の問題を解くときは,式変形を工夫しながら既知の不等式を使って証明するという方法が一般的です.ただし,式変形の仕方がいろいろ考えられるので,適切な手段を選ぶのが難所となります.

ヒント

不等式をよく観察してください.(左辺)は$2n-1$個の$n$をかけたものです.(右辺)は$1$から$2n-1$までの$2n-1$個の整数をひとつずつかけたものです.このようにみると,左辺と右辺でかけてある整数の"個数"が一致していると思えます.

ひとつのエレガントな解き方

両辺に$n$をかけます.示すべきは, $$n^{2n} \ge (2n-1)! \times n$$ です.ここで, \begin{eqnarray*} (右辺)&=&\{(2n-1)(2n-2) \cdots 2 \times 1\} \times n \\ &=&\{(2n-1)\times1 \}\{(2n-2)\times2\} \cdots \{(2n-n)\times n\} \\ &=& \prod_{k=1}^{n} (2n-k)k \end{eqnarray*} と式変形できます.ここで任意の$k$に対して, $$(n-k)^2 \ge 0$$ であることから, $$n^2 \ge (2n-k)k$$ がわかります. これを用いると, $$n^{2n} \ge \prod_{k=1}^{n} (2n-k)k$$ が言えるので,結局 $$n^{2n} \ge (2n-1)! \times n$$ が示されました.したがって,問題の不等式が成り立ちます.


一見簡単そうですが,いざ証明するとなると,案外難しいかもしれません.