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順列の基本的な考え方を紹介します.




順列とは

突然ですが,$A,B,C,D$ の $4$ 文字から,異なる $2$ 文字を選んで一列にならべる方法は何通りあるでしょうか.実際に並べてみると, $$AB AC AD BA BC BD$$ $$CA CB CD DA DB DC$$ の $12$ 通りあることがわかります.

このように,いくつかの文字や記号を,順序をつけて $1$ 列に並べたものを順列といいます.『順序をつけて』というのは,上の例で言えば,たとえば $AB$ と $BA$ を区別して考えるということです.

異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して,一列に並べる順列の総数を ${}_n \mathrm{P} _r$ という記号で表します.$\mathrm{P}$ は順列を意味する Permutation の頭文字です.

実際に ${}_n \mathrm{P} _r$ の値を計算してみましょう.
異なる $n$ 個のものから順番にひとつずつ取り出して左から順に並べることを考えます.容易につぎのことがわかります.

$1$ 番目のものの取り方は $n$ 通り
$1$ 番目で取ったものそれぞれについて,$2$ 番目の取り方は $n-1$ 通り
$1,2$ 番目で取ったものそれぞれについて,$3$ 番目の取り方は $n-2$ 通り
$1,2,...,r-1$ 番目で取ったものそれぞれについて,$r$ 番目の取り方は $n-r+1$ 通り

したがって,積の法則により,つぎの公式が成り立ちます.

順列の総数: 異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して並べる順列の総数は, $${}_n \mathrm{P} _r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$$

いろいろな例題

順列に関する基本的なタイプの問題を $3$ 種類紹介します.

並べる順番を工夫する

 $6$ 個の数字 $0,1,2,3,4,5$ から異なる $4$ 個を並べて,$5$ の倍数であるような $4$ 桁の整数は何個つくれるか.

$4$ 桁の数字をつくる問題です.単純に選んだ数を左から並べるとすると,千,百,十,一の位の順に決定することになります.しかし,$4$ 桁の数は $5$ の倍数でなければならないので,たとえば,百の位に $0$,十の位に $5$ を選んできてしまった場合,一の位は $0$ にも $5$ にもなりえないので,$5$ の倍数をつくれません.したがって,千,百,十,一の位の順に考えると,ややこしくなります.

選んだ数を並べる順番を工夫して,千,一,百,十の位の順に数を決定してみましょう.
$(i)$ 千の位が $1,2,3,4$ のいずれかとき
その各々の場合について,一の位の選び方が $2$ 通りあり,さらにその各々の場合について,百の位の選び方が $4$ 通り,さらにその各々の場合について,十の位の選び方が $3$ 通りあるので,千の位が $1,2,3,4$ のいずれかであるような $4$ 桁の $5$ の倍数は $$4\times 2\times 4\times 3=96$$ で,$96$ 通りつくれます.
$(ii)$ 千の位が $5$ のとき
一の位の選び方が $1$ 通りあり,百の位の選び方が $4$ 通り,さらにその各々の場合について,十の位の選び方が $3$ 通りあるので,千の位が $5$ であるような $4$ 桁の $5$ の倍数は $$1\times 1\times 4\times 3=12$$ で,$12$ 通りつくれます.
以上 $(i),(ii)$ より,$5$ の倍数であるような $4$ 桁の整数は $96+12=108$ 個つくれます.

ポイントは,並べる順番を問題に応じて工夫するということです.

隣り合うものをひとまとめにする

 $A,B,C,D,E$ の $5$ 人が一列に並ぶとき,$A,B$ が隣り合うような並び方は全部で何通りあるか.

非常によくあるタイプの問題です.
まず,隣り合う $2$ 人をひとかたまりの $X$ として考えます.つまり,$C,D,E,X$ を一列に並べることを考えます.この総数は,${}_4 \mathrm{P} _4=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$ 通りあります.この各々の並べ方に対して,$A$ と $B$ を $AB$ という風に並べるか,$BA$ という風に並べるかの $2$ 通り考えられます.したがって,求めるべき並べ方は $24\times 2=48$ 通りです.

ポイントは,隣り合うものはまずひとまとめにして考えるということです.

隣り合わないものを後から間にいれる

 $A,B,C,D,E$ の $5$ 人が一列に並ぶとき,$A,B,C$ の $3$ 人が隣り合わないような並び方は全部で何通りあるか.

今度は先ほどとは逆に,隣合わないような並べ方を考える問題です.この場合はまず,何の条件もない人たちを先にならべることを考えます.つまり,$D,E$ を並べます.$D,E$ の並べ方は $DE$ と $ED$ の $2$ 通りあります.さて,$A,B,C$ はどの $2$ 人も隣り合ってはいけないので,間に $D$ か $E$ を挟むしかありません.

$D,E$ の $2$ 通りの並べ方のそれぞれについて,間に $A,B,C$ を入れる方法は,$3!=6$ 通りあります.したがって,求めるべき並べ方は $2\times 6=12$ 通りです.

ポイントは,隣り合わないものは後から間にいれるということです.

練習問題

 $5$ 個の数字 $0,2,4,6,8$ から異なる $4$ 個を並べて,$3$ の倍数であるような $4$ 桁の整数は何個つくれるか.

→solution

整数 $N$ が $3$ の倍数であることと,$N$ の各桁の数の和が $3$ の倍数であることは同値である.$0,2,4,6,8$ を $3$ で割ったあまりはそれぞれ $0,2,1,0,2$ である.したがって,$4$ つの数の選び方は,$0,4,6$ は必ず選び,残り一つを $2$ または $8$ 選ぶしかない.この選び方は $2$ 通り.また,選んだ $4$ つの数の並べ方は,千の位に $0$ が来てはいけないことに注意すると, $3\times 3\times 2\times 1=18$ 通り.以上より,作り方は $2\times 18=36$ 通り.

 $n,u,m,b,e,r$ の $6$ 文字を $1$ 列に並べるとき,両端に子音がくる並べ方は何通りあるか.

→solution

$6$ 文字のうち,子音は $n,m,b,r$ の $4$ 文字で,母音は $u,e$ の $2$ 文字である.
左端と右端の子音の選び方は合わせて ${}_4 \mathrm{P} _2=4\times 3=12$ 通りある.残りの $4$ 文字の並べ方は $4!=24$ 通り.よって,$12\times 24=288$ 通り.

 $5$ 個の数字 $1,2,3,4,5$ から異なる $4$ 個を並べて,$4$ 桁の整数をつくる.これらの整数を小さい順に並べるとき,$4321$ は何番目に現れるか.

→solution

千の位の数で場合分けして考える.
(1) 千の位が $1$ のとき
つくることのできる $4$ 桁の数の個数は ${}_4 \mathrm{P} _3=4\times 3\times 2=24$ 通り.
(2) 千の位が $2$ のとき
つくることのできる $4$ 桁の数の個数は ${}_4 \mathrm{P} _3=4\times 3\times 2=24$ 通り.
(3) 千の位が $3$ のとき
つくることのできる $4$ 桁の数の個数は ${}_4 \mathrm{P} _3=4\times 3\times 2=24$ 通り.
(4) 千の位が $4$ のとき
百の位が $1$ のものは ${}_3 \mathrm{P} _2=3\times 2=6$ 通りつくれる.
百の位が $2$ のものは ${}_3 \mathrm{P} _2=3\times 2=6$ 通りつくれる.
百の位が $3$ のものを小さい順に並べると, $$4312 4315 4321\cdots$$ 以上より,$4321$ は $24+24+24+6+6+3=87$ 番目に現れる.