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2直線の平行・垂直条件の公式を解説します.特に,垂直条件は基本的で重要です.




2直線の平行条件

$2$ 直線 $y=m_1x+n_1,y=m_2x+n_2$ について,考えてみましょう.$2$ 直線は,平行ならばその傾きは等しく,逆に傾きが等しいときは平行です.
平行な2直線
したがって,次が成り立ちます.

2直線の平行条件: $2$ 直線 $y=m_1x+n_1,y=m_2x+n_2$ について,次が成り立つ. $$\large 2直線が平行 \Leftrightarrow m_1=m_2$$

2直線の垂直条件

$2$ 直線 $y=m_1x+n_1 \cdots ①,y=m_2x+n_2 \cdots ②$ が垂直に交わる場合はつぎの公式が成り立ちます.

2直線の垂直条件: $2$ 直線 $y=m_1x+n_1,y=m_2x+n_2$ について,次が成り立つ. $$\large 2直線が垂直 \Leftrightarrow m_1m_2=-1$$

つまり,$2$ 直線が垂直であるための必要十分条件は,$2$ 直線の傾きのが $-1$ であることです.

このことを実際に確かめてみましょう.座標平面上に $2$ 点 $M(1,m_1),N(1,m_2)$ をとります.
垂直な2直線
すると,直線 $OM,ON$ はそれぞれ直線 $①,②$ と傾きが等しいです.ゆえに,直線 $OM,ON$ はそれぞれ直線 $①,②$ と平行です.したがって,$2$ 直線 $①,②$ が垂直ならば,$OM,ON$ も垂直です.よって,三平方の定理より, $$OM^2+ON^2=MN^2$$ $$(1+m_1^2)+(1+m_2^2)=(m_1-m_2)^2$$ したがって, $$m_1m_2=-1$$ です.逆に,$m_1m_2=-1$ のとき,$OM^2+ON^2=MN^2$ が成り立つから,$2$ 直線 $①,②$ は垂直です.

垂直二等分線の求め方

2直線の垂直条件を利用して,線分の垂直二等分線の方程式を求めてみましょう.
たとえば,いま,座標平面上に $2$ 点 $A(2,3),B(4,1)$ が与えられているとします.
平行な2直線
線分 $AB$ の垂直二等分線 $l$ の式はつぎのようにして求められます.

まず,$l$ は 線分 $AB$ を二等分するので,$A$ と $B$ の中点 $M$ を通ります.$A,B$ の中点 $M$ の座標は, $$\left(\frac{2+4}{2},\frac{3+1}{2}\right)=\left(3,2\right)$$ です.また,$l$ は線分 $AB$ と垂直なので,$l$ と $AB$ の傾きの積は $-1$ です.$AB$ の傾きは, $$\frac{1-3}{4-2}=\frac{-2}{2}=-1$$ したがって,$l$ の傾きは $1$ です.
よって,$l$ は $M(3,2)$ を通り,傾き $1$ の直線なので,その式は, $$l: y=x-1$$ と求められます.
参考→直線の式の求め方

以上をまとめます.

垂直二等分線の式の求め方: $2$ 点 $A,B$ の座標がわかっているとき,線分 $AB$ の垂直二等分線 $l$ の式を求めるにはつぎのようにすればよい.
$Step1:$ $A,B$ の中点 $M$ の座標を求める.
$Step2:$ 線分 $AB$ の傾きを求める.
$Step3:$ $2$ 直線の垂直条件と $Step2$ から $l$ の傾き $a$ を求める
$Step4:$ $M$ を通り,傾き $a$ の直線が $l$ である.