２直線の平行・垂直条件の公式を解説します．特に，垂直条件は基本的で重要です．
$2$ 直線 $y=m_1x+n_1，y=m_2x+n_2$ について，考えてみましょう．$2$ 直線は，平行ならばその傾きは等しく，逆に傾きが等しいときは平行です．
したがって，次が成り立ちます．
２直線の平行条件： $2$ 直線 $y=m_1x+n_1，y=m_2x+n_2$ について，次が成り立つ． $$\large 2直線が平行 \Leftrightarrow m_1=m_2$$
$2$ 直線 $y=m_1x+n_1 \cdots ①，y=m_2x+n_2 \cdots ②$ が垂直に交わる場合はつぎの公式が成り立ちます．
２直線の垂直条件： $2$ 直線 $y=m_1x+n_1，y=m_2x+n_2$ について，次が成り立つ． $$\large 2直線が垂直 \Leftrightarrow m_1m_2=-1$$
つまり，$2$ 直線が垂直であるための必要十分条件は，$2$ 直線の傾きの積が $-1$ であることです． このことを実際に確かめてみましょう．座標平面上に $2$ 点 $M(1,m_1)，N(1,m_2)$ をとります．
すると，直線 $OM,ON$ はそれぞれ直線 $①，②$ と傾きが等しいです．ゆえに，直線 $OM,ON$ はそれぞれ直線 $①，②$ と平行です．したがって，$2$ 直線 $①，②$ が垂直ならば，$OM,ON$ も垂直です．よって，三平方の定理より， $$OM^2+ON^2=MN^2$$ $$(1+m_1^2)+(1+m_2^2)=(m_1-m_2)^2$$ したがって， $$m_1m_2=-1$$ です．逆に，$m_1m_2=-1$ のとき，$OM^2+ON^2=MN^2$ が成り立つから，$2$ 直線 $①，②$ は垂直です．
２直線の垂直条件を利用して，線分の垂直二等分線の方程式を求めてみましょう． たとえば，いま，座標平面上に $2$ 点 $A(2,3)，B(4,1)$ が与えられているとします．
線分 $AB$ の垂直二等分線 $l$ の式はつぎのようにして求められます．
まず，$l$ は 線分 $AB$ を二等分するので，$A$ と $B$ の中点 $M$ を通ります．$A,B$ の中点 $M$ の座標は， $$\left(\frac{2+4}{2}，\frac{3+1}{2}\right)=\left(3,2\right)$$ です．また，$l$ は線分 $AB$ と垂直なので，$l$ と $AB$ の傾きの積は $-1$ です．$AB$ の傾きは， $$\frac{1-3}{4-2}=\frac{-2}{2}=-1$$ したがって，$l$ の傾きは $1$ です．
よって，$l$ は $M(3,2)$ を通り，傾き $1$ の直線なので，その式は， $$l: y=x-1$$ と求められます．
以上をまとめます．
垂直二等分線の式の求め方： $2$ 点 $A,B$ の座標がわかっているとき，線分 $AB$ の垂直二等分線 $l$ の式を求めるにはつぎのようにすればよい． $Step1:$ $A,B$ の中点 $M$ の座標を求める． $Step2:$ 線分 $AB$ の傾きを求める． $Step3:$ $2$ 直線の垂直条件と $Step2$ から $l$ の傾き $a$ を求める $Step4:$ $M$ を通り，傾き $a$ の直線が $l$ である．
