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比較的きれいな有理式で表せる三角比の値を紹介します.




三角比のいろいろな値

以下の表は,$0°$ から $90°$ までの主な $\sin$ と $\cos$ の値です.角度が整数度であるような三角比の値が,簡単な式で表せる場合はあまり多くありません.その中でも,$18°$ の倍数や,$15°$ の倍数の値は比較的簡単な式になります.
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} & 0° & 15° & 18° & 30° & 36° & 45° & 54° & 60° & 72° & 75° & 90° \\ \hline \sin & 0 & \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{5}+1}{4} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} & \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} & 1 \\ \cos & 1 & \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{5}+1}{4} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} & 0 \end{array}
$15°$ の倍数の値は有名ですが,$18°$ の倍数の値も入試などではよく題材にされるので,覚える必要はありませんが,知っておくと便利です.

絶対に覚えるべき三角比の値

$0°,30°,45°,60°,90°$ の $\sin$ と $\cos$ (と $\tan$ ) の値は常識です.高校物理などでも頻繁に用いるので,必ず覚えなければなりません.これらはふたつの三角定規に表れる三角比です.
直角定規

作り出せる三角比の値

$0°,30°,45°,60°,90°$ の $\sin$ と $\cos$ の値を覚えてしまえば,$15°,75°$ は作り出すことができます.たとえば $\sin 15°$ については,半角の公式 $\sin^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}$ において,$\theta$ に $30°$ を代入することで, $$\sin^2 15°=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$$ となるので,$\sin 15° > 0$ より, $$\sin 15°=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$ となります.この式は実は二重根号をはずすことができます.分母分子に $\sqrt{2}$ をかけると, $$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$ です.このようにして,$15°$ の三角比の値が求めることができます.$75°$ もたとえば $30°+45°$ と考えて,加法定理を用いれば求めることができます.同様にして,$90°$ 以上の値である $105°,135°$ などについても必要に応じて求めることができます.

マニアックな三角比の値

$18°$ の倍数の三角比の値はややマニアックですが,二重根号がはずれてきれいな式になる場合があります.$18°$ の倍数の角度は,幾何学的には,正五角形に現れます.この図を用いると,$\cos 36°$ の値を求めることができます.これより,$\sin 36°$ や $\sin 18°,\cos 18°,\sin 72°,\cos 72°$ なども求められます.
正五角形