ホーム >> 数と式 >> $\sqrt{2}$ が無理数であることの $3$ 通りの証明

$\sqrt{2}$ が無理数であることのいろいろな証明方法を紹介します.すべて,高校までの数学で理解できるものです.




教科書に乗っている証明

まずは,教科書に乗っている標準的な証明を紹介します.$\sqrt{2}$ を有理数と仮定して,互いに素な $2$ つの整数の比で表し,矛盾を示します.

証明 $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する.このとき,互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて, $$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$$ とかける.両辺 $2$ 乗すると, $$2q^2=p^2$$ となる.左辺は偶数なので,右辺も偶数.したがって,正の整数 $p'$ を用いて,$p=2p'$ とかける. これを代入すると, $$q^2=2p'^2$$ となる.右辺は偶数なので,左辺も偶数.したがって,正の整数 $q'$ を用いて,$q=2q'$ とかける.ところが,$p,q$ はともに偶数となって,互いに素という仮定に矛盾する.よって,$\sqrt{2}$ は無理数である.

無限降下法を用いる証明

整数の証明問題でしばしば登場する無限降下法を用いる証明です.自然数からなる集合には必ず最小元が存在することが無限降下法の原理となっています.上の証明と似ていますが,こちらは互いに素という条件を使っていないことに注意してください.

証明 $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する.このとき,正の整数 $m,n$ を用いて, $$\sqrt{2}=\frac{n}{m}$$ とかける.両辺 $2$ 乗すると, $$2m^2=n^2$$ となる.したがって,$n$ は偶数となるので,自然数 $n_1$ を用いて,$n=2n_1$ とかける.これを代入すると, $$m^2=2n_1^2$$ となる.したがって,$m$ は偶数となるので,自然数 $m_1$ を用いて,$m=2m_1$ とかける. つまり, $$\sqrt{2}=\frac{n}{m}$$ となる自然数 $m,n$ が存在すれば,$m > m_1$, $n > n_1$ である自然数 $m_1,n_1$ が存在して, $$\sqrt{2}=\frac{n_1}{m_1}$$ となることがいえる.この操作を繰り返すと,無限に小さくなる自然数列 $m > m_1 > m_2 > \cdots$ (および $n > n_1 > n_2 > \cdots$)が得られる.しかし,このようなことはありえない.よって,$\sqrt{2}$ は無理数である.

証明の最後の部分が少し難しいかもしれません.無限に小さくなる自然数列が存在するならば,その数列に表れるすべての自然数からなる集合には最小元がないことになってしまいます.ところが,自然数からなる集合には必ず最小元が存在するのでこれは矛盾です.

ガウス記号を用いる証明

$x$ を実数とするとき,$[x]$ を $x$ を超えない最大の整数とします.一般に,有理数は整数 $m,n$ を用いて,$\frac{n}{m}$ と表せます.この有理数に適当な整数 (たとえば,$m$ や $2m$)をかけることで,整数にできます.特に,有理数にかけると整数にできるような最小の自然数が存在します.このことを利用します.

証明 $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると,$\sqrt{2}n$ が整数となるような,最小の自然数 $n$ が存在する.ここで, $$m=n(\sqrt{2}-[\sqrt{2}])$$ を考える.$\sqrt{2}n$ は整数なので,$m$ は自然数.ガウス記号の定義から,$0 \le \sqrt{2}-[\sqrt{2}] <1$ なので,$0 \le m < n$ である.一方, $$\sqrt{2}m=n(2-\sqrt{2}[\sqrt{2}])=2n-\sqrt{2}n[\sqrt{2}]$$ となるが,$\sqrt{2}n$ は整数だったので,$\sqrt{2}m$ も整数となる.つまり,$m$ は $\sqrt{2}m$ が整数となるような自然数である.ここで,$n$ は $\sqrt{2}n$ が整数となるような,最小の自然数だったので,$n$ の最小性より,$n \le m$ である.これは,$0 \le m < n$ に矛盾する.よって,$\sqrt{2}$ は無理数である.


ひとつの命題に様々な証明方法があるのは本当に素晴らしいことですね.