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整数と整式の割り算

整数同士の割り算と同じように,整式同士でも割り算ができます.たとえば,$x^3+2x^2+1$ を $x-1$ で割ってみます.以下のように,割り算を実行すれば,

$$x^3+2x^2+1=(x^2+3x+3)(x-1)+4$$ となるので,$x^3+2x^2+1$ を $x-1$ で割った余りは $4$ だということがわかります.
さて,整式の割り算では,わざわざ上のような計算をしなくても余りが求められることがあります.それが,以下に述べる剰余の定理です.ただ,剰余の定理の証明には以下の除法の原理を用いるので,一応紹介しておきます.

整式における除法の原理

整数において,割り算が実行できることは次のような原理にもとづいています.

除法の原理: $2$ つの整数 $a,b (b \neq 0)$ に対して, $$a=bq+r  (0 \le r < |b|)$$ を満たす整数 $q,r$ が一意的に存在する.

$a$ を割られる数,$b$ を割る数 ($0$ で割ることは数学では禁止されているので,$b \neq 0$ です.), $q$ を商,$r$ を余りというのでした.割り算というのは非常に基本的で重要な概念なのでこのように,それぞれの数に名前がついています.さて,同様のことが整式でも成り立ちます.

除法の原理 (整式版) : $2$ つの $1$ 変数の整式 $f(x),g(x) (g(x) \neq 0)$ に対して, $$f(x)=g(x)q(x)+r(x)  (0 \le \deg r(x) < \deg g(x))$$ を満たす整式 $q(x),r(x)$ が一意的に存在する.

ここで,$\deg$ という記号ですが,これは整式の次数を表す記号で,たとえば,$f(x)=x^3+x^2+1$ の次数は $3$ なので,$\deg f(x)=3$,  $g(x)=x^4$ の次数は $4$ なので,$\deg g(x)=4$ です.この原理の意味合いは, 整式を $2$ 次式で割れば,余りは $1$ 次式か定数になり,$1$ 次式で割れば,余りは定数になるという感じです.この原理は高校では当たり前のこととして,除法の“原理”と呼ばれていますが,実際は証明されるべき定理です.高校数学ではこの原理がさりげなく用いられています.

剰余の定理

剰余の定理とは,整式の割り算において,$1$ 次式で割る場合には,その余りが簡単に求まるという定理です.

剰余の定理: 整式 $P(x)$ を $1$ 次式 $x-\alpha$ で割った余りは $P(\alpha)$

証明: 一般に,整式 $P(x)$ を $1$ 次式 $x-\alpha$ で割った商を $Q(x)$ 余りを $R$ とすると, $$P(x)=Q(x)(x-\alpha)+R$$ とかける.(ここで,除法の原理を用いた.)ただし,$R$ は定数.$x$ に $\alpha$ を代入すると, $$P(\alpha)=Q(\alpha)(\alpha-\alpha)+R=R$$ よって,$P(x)$ を $1$ 次式 $x-\alpha$ で割った余りは $P(\alpha)$ となる.

たとえば,先の例で,$x^3+2x^2+1$ を $x-1$ で割った余りを求めましたが,剰余の定理を用いれば,$x^3+2x^2+1$ に $1$ を代入すれば,$1^3+2・1^2+1=4$ となって,$x-1$ で割った余りが $4$ であることがすぐにわかります.

因数定理

剰余の定理において,特に余りが $0$ であるときを考えてみましょう.
整式 $P(x)$ を $1$ 次式 $x-\alpha$ で割った余りが $0$ であるとき,剰余の定理から,$P(\alpha)=0$ であることがわかります.また,このとき, $$P(x)=Q(x)(x-\alpha)$$ とかけるので,$P(x)$ は $(x-\alpha)$ を因数にもちます.逆に,$P(x)$ が $(x-\alpha)$ を因数にもつとき, $$P(x)=Q(x)(x-\alpha)$$ とかけるので,$P(\alpha)=0$ であることがわかります.したがって,以下の因数定理が成り立ちます.

因数定理: 整式 $P(x)$ が $(x-\alpha)$ を因数に持つ ⇔ $P(\alpha)=0$

特に,右から左の矢印が成り立つことは非常に重要です.整式 $P(x)$ に何か値(たとえば,$1$ とか)を代入して,その結果がもし $0$ であるならば,(つまり,$P(1)=0$ であったならば,) $P(x)$ は $1$ 次式 $x-1$ を因数にもつことがわかります.つまり,整式の因数分解などに役立ちます.


因数定理は非常に強力な定理です.