思考力を鍛える数学

相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します． コーシー・シュワルツの不等式:　実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n, b_1,b_2,\cdots,b_n$ について...

数式処理の基本である因数分解と展開の公式をまとめました． 以下は絶対に覚えておくべき基本的な因数分解・展開公式です． がんばって暗記するようなものではなく，ふつうに数学をしていると，あまりに使う頻度が多すぎて自然と身に付いてしまう類のもので...

累乗の和の公式： $$\large \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$$ $$\large \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ $$\large \sum_{...

最も基本的な数列である等差数列について解説します． $$1,3,5,7,9,11,13,15,\cdots$$ は初項 $1$ に一定の数 $2$ を次々に足していった数列です． 一般に，数列 $\{a_n\}$ において，各項に一定の数 ...

『実係数多項式が根 $\alpha$ をもつとき，その共役複素数 $\bar{\alpha}$ も根となる』という性質について解説します． 実係数多項式の共役根：　実係数多項式 $P(x)$ について，方程式 $P(x)=0$ の複素数解の...

様々な集合に関する記号の意味についてまとめました． 集合とは，いくつかのものや数の集まりのことを言います．集合を構成する個々のもののことを元 (または要素) といいます．集合は波括弧 {} を用いて記述するのが慣例です． 一般に，集合の表し...

階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します．簡単な原理に基づいていて，結構使用頻度が多いので，ぜひマスターしましょう． 与えられた数列の一般項を求める方法として，隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法...

三角形の辺と角について，次の正弦定理が成り立ちます． 正弦定理：　$△ABC$ において，$3$ 辺の長さを $a，b，c，$ 外接円の半径を $R$ とすると，次が成り立つ． $$\large \frac{a}{\sin A}=\frac...