Uncategorized 2 つの円の位置関係|思考力を鍛える数学
平面上の $2$ つの円の位置関係の分類について解説します．
平面上に $2$ つの円があるとき，それらの位置関係は以下の $5$ つのパターンに分類されます．
外部，内部にあるときは共有点は $0$ 個であり，内接，外接のときは共有点は...
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Uncategorized 魔法陣となるための条件|思考力を鍛える数学
たて，よこ，ななめの数の合計がすべて同じ数になるような $3\times3$ の魔法陣に関する問題です．単純に，数を入れて魔法陣を完成させる問題ではなくて，与えられた $3\times3$ の表が魔法陣となるための必要十分条件を求める問題...
Uncategorized $3$ 倍角の公式|思考力を鍛える数学
$3$ 倍角の公式とは $3\theta$ の正弦 (または余弦) を $\theta$ を用いて表す式です．三角関数のいろいろな公式の中でもややマニアックな公式になります．
$3$ 倍角の公式： $$・\large \sin 3\the...
Uncategorized 完全数とその性質について|思考力を鍛える数学
完全数とは，約数の総和が自身の $2$ 倍となるような自然数のことです．たとえば，$6$ は完全数です． 実際，$6$ のすべての約数は $1,2,3,6$ で，その総和は $12$ となり，たしかに $6$ の $2$ 倍になります．また...
Uncategorized 思考力を鍛える数学
問 下図のような正八角形がある．全体の面積が $1$ のとき，色のついた部分の面積を求めよ．
2021/1/18 幾何 ★☆☆☆☆
問 ふたつの素数 $p,q$ が $p+q=90$ をみたすとき，積 $pq$ としてありうる...
Uncategorized 素因数分解の存在と一意性|思考力を鍛える数学
ホーム >> 整数 >> 素因数分解の存在と一意性
2022/1/20 整数
素因数分解の存在と一意性の証明を紹介します．
⇨予備知識
・ →整数の除法の原理
・ →約数，倍数，最大公約数，最小公倍数
素因...
Uncategorized パスカルの三角形と最短経路|思考力を鍛える数学
二項係数の値の視覚化である，パスカルの三角形を紹介します．
唐突ですが，下図をご覧ください．
$0$ 段目に $1$ という数が書かれており，$1$ 段目に $1\ 1$，$2$ 段目に $1\ 2\ 1$ ，$3$ 段目に $1\ 3\...
Uncategorized 約数の総和公式|思考力を鍛える数学
自然数 $n$ が与えられたとき，$n$ のすべての約数の総和を求めましょう．たとえば，$6$ のすべての約数は $1,2,3,6$ なので，$6$ の約数の総和は，$1+2+3+6=12$ となります．また，$24$ のすべての約数は $...
Uncategorized カタラン数の定義と漸化式|思考力を鍛える数学
カタラン数の定義と，満たすべき漸化式を紹介します．カタラン数の豊富な例は別記事で紹介することにします．
カタラン数は組合せに関するいろいろな場面で登場し，重要であるためいろいろな性質が調べられています．大学入試等でもたびたび題材になることが...
Uncategorized 正七角形の性質|思考力を鍛える数学
マイナーですが，正七角形の辺と対角線に関する美しい公式です．
トレミーの定理を知っている人は，この問題はとても簡単かもしれません．ここでは，$2$ 通りの解答を紹介します．
三角比を用いる解答例
三辺が $a,b,c$ の三角形の内角に注...