思考力を鍛える数学

十進法表記で考えてください．($1$) の条件は，$0$ となる桁がないということです． ($2$) の条件は，右にいくにつれて桁の数が小さくなっていくということです． 場合分けをすれば基本的な組合せの知識で解けますが，実は，発想の転換に...

長方形に，長方形が接している一般的な状況での問題です．一見しただけでは，どちらが大きいかわかりません．パズルだと思ってみると何か手がかりがつかめるかもしれません． ヒント 大きな長方形から赤色の長方形を除く $4$ つの直角三角形について...

重複を許して並べる順列の基本的な考え方を紹介します． 異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して並べる順列の総数は ${}_n \mathrm{P}_r$ でした．(→順列の基礎)では，異なる $n$ 個のものから，重複を許...

$AB=BC=AH=HG=2,CD=DE=EF=FG=1$ であるような八角形 $ABCDEFGH$ が円に内接しています．この八角形の面積を求める問題です． 中学数学の知識のみで解くことが可能ですが，それなりの工夫は必要です． ヒント ...

整数に関する文章問題です．合計の代金と各切手の値段しか与えられていませんが，$310$ 円切手を何枚買ったかがわかります．実は，$140$ 円切手や $280$ 円切手をいくつ買ったかはわからないところがこの問題の面白いところです． 考え...

$47!=1\times 2\times \cdots \times 47$ のことです．題材は整数ですが，個数を数える問題なので，組合せの問題です．$47!$ はとても大きな数なので，問題の条件を満たす $a,b,c$ の組も非常にたく...

$a$ を実数とします．$2$ 乗すると $a$ になる数のことを $a$ の平方根と言います．言い換えると，$a$ の平方根とは，$2$ 次方程式 $$x^2=a$$ の解のことです． 正の実数 $a$ の平方根は必ず $2$ つあり，そ...

整数部分と，小数部分の基本事項について解説します． すべての実数に対して，整数部分と小数部分と呼ばれる数がそれぞれただひとつ定まります．実数をこれら $2$ つの部分にわける操作は基本的で，時に重要な役割を演じます． それぞれ，以下のように...

制約条件のついた数え上げの問題です．単に，赤球と青球を $5$ つずつ一列に並べるだけなら，その並べ方は ${}_{10} \mathrm{C} _5=252$ 通りあります．ところが，同じ色の球が $3$ つ以上連続しないという制約条件...

平面上の $3$ 点が同一直線上にあるための条件を複素数を用いて表します． 複素数平面上で，$3$ 点が同一直線上にあるための条件はつぎのように簡潔に表すことができます．ここでは，状況を簡単にするために $3$ 点は相異なるとしておきます．...