思考力を鍛える数学

あみだくじの問題です．あみだくじの横線は，隣り合う縦線をつなぐように引かなければなりません．たとえば，下図のように横線を $3$ 本引くと，$ABCDEF$ というならびは，$BCAEDF$ というならびになります． さて，$ABCDE...

交代式の因数分解の裏技的方法を紹介します．この記事では，因数分解はつねに実数の範囲で考えます． まずは次の問題を考えてみましょう． 問　次の式を因数分解せよ． $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$$ 因数分...

図形の合同とは，形と大きさが等しいという概念を表すための数学用語です． 平面上の $2$ つの図形について，一方の図形に平行移動・回転移動・反転の操作を施して他方の図形にぴったり重ねることができるとき，それらふたつの図形は合同であるといいま...

異なる $3$ 点が同一直線上にあるための条件(共線条件)と，異なる $3$ 直線が $1$ 点で交わるための条件（共点条件）の基本的な考え方を紹介します．この記事では，すべて通常の平面上で考えます． 異なるいくつかの点 $p_1,...,...

ある自然数 $m$ があって，$m^3$ の形に書ける数を立方数と言います．たとえば，$1,8,27,64,125,...$ などは立方数です． さて，$n$ に $1$ から順に代入していくと，$n!+2$ の値は， $$3,4,8,2...

三角関数の分野で，最も基本的な定理のひとつが三角関数の加法定理です．三角関数の他の様々な公式が，加法定理から導くことができます．一見ややこしく見えますが，絶対に覚えるべき公式です． 三角関数の加法定理 ($\sin \cos$)：　$\al...

数遊びに関する問題です．たとえば，はじめは，黒板に $1,2$ が書かれているので $2(1\times 2)+1+2=7$ を新たに書き足すことができます．すると，今度は $1,2,7$ のうち (重複を許して) $2$ つの整数を選ん...

魔法の使用に関して補足します．まず，ドラゴンは自由に指定できます．一匹でも $2018$ 匹でも $OK$ です．ただし，すべての首がすでに切り落とされているドラゴンは指定できないとします．(もうすでに倒されていると考えてください) また...

十進法表記で考えてください．($1$) の条件は，$0$ となる桁がないということです． ($2$) の条件は，右にいくにつれて桁の数が小さくなっていくということです． 場合分けをすれば基本的な組合せの知識で解けますが，実は，発想の転換に...