思考力を鍛える数学

チェビシェフの不等式について解説します．確率論でもチェビシェフの不等式という名前のものがありますが，今回紹介するものとは別のものです． チェビシェフの不等式：　実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_...

平方完成とは，$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c$ を式変形して，$a(x+p)^2+q$ という形にすることです．たとえば，$2$ 次方程式 $x^2+4x+1$ を平方完成すると，$(x+2)^2-3$ となり，$-2x^2+3x-...

並べ替え不等式とは，$2n$ 個の実数 $x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_n$ に対する次の不等式のことです． 並べ替え不等式：　$x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n，y_1\g...

二項係数について成り立ついろいろな公式について，その意味合いとともに紹介します． 二項係数 ${}_n \mathrm{C} _k$ とは，$n$ 個のものの中から，$k$ 個のものを順序を考慮せず選ぶ選び方の総数です．ここで，自然数 $k...

円と直線の位置関係を，それぞれの式を利用して判断する方法を $2$ 通り紹介します． 平面上に円と直線が位置しているとき，これらふたつの位置関係は次の $3$ パターンあります． どのような条件が成り立つとき，どのパターンになるのでしょう...

相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します． コーシー・シュワルツの不等式:　実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n, b_1,b_2,\cdots,b_n$ について...

数式処理の基本である因数分解と展開の公式をまとめました． 以下は絶対に覚えておくべき基本的な因数分解・展開公式です． がんばって暗記するようなものではなく，ふつうに数学をしていると，あまりに使う頻度が多すぎて自然と身に付いてしまう類のもので...