思考力を鍛える数学

組合せ分野の，標準的な塗り分け問題です．この手の問題は一度は解いたことがあるのではないでしょうか． 考え方・ヒント まず簡単にわかることは，領域は $5$ つなので使う色の種類は $5$ 色以下です．さらに $3$ 色以上必要であることも...

直角三角形 $ABC$ からいろいろ線をひいてできる点 $D$ が，ある三角形の内心になっていることを証明する問題です．三角形の各頂角の二等分線は一点で交わり，その交点を三角形の内心といいます．問に従って図を描くと，たとえば下のようになり...

異なるいくつかのものを円形に並べる順列の個数について考察します． 人やものを円形に並べる順列を円順列といいます．円順列では，適当に回転して並び方が一致するものは，同じ順列であると考えます． たとえば，$A,B,C$ の $3$ 人が円形に並...

ここでいう平均とは，相加平均のことを指します．たとえば，$n=3$ のとき，$(-1,2,5)$ という $3$ つの実数の組を考えると， $$-1\le \frac{2+5}{2}=3.5$$ $$2 \le \frac{-1+5}{2...

たとえば，$(a,b)=(1,1)$ のとき，(右辺)$=18$ となるので，$p=9$ となり，これは素数ではありません．$(a,b)=(2,0)$ のとき，(右辺)$=32$ となるので，$p=16$ となり，これは素数ではありません...

条件 $1$ は要するに，$10$ 個の相異なる点を $2$ 点ずつペアにして，合計 $5$ 組のペアをつくるということです． 条件 $1$ だけであれば，ペアの作り方は，${}_{10} \mathrm{C} _2\times {}_{...

私達がふだん目にしている数字の表記法はそのほどんどが十進法と呼ばれるものです．これは，$0$ から $9$ までの十種類の数を用いてすべての数 を表現する方法です．たとえば，$1234$ という数は， $$1234=1\cdot10^3+2...