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円に内接する八角形の面積|思考力を鍛える数学

$AB=BC=AH=HG=2,CD=DE=EF=FG=1$ であるような八角形 $ABCDEFGH$ が円に内接しています.この八角形の面積を求める問題です. 中学数学の知識のみで解くことが可能ですが,それなりの工夫は必要です. ヒント ...
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切手を買った枚数を求める|思考力を鍛える数学

整数に関する文章問題です.合計の代金と各切手の値段しか与えられていませんが,$310$ 円切手を何枚買ったかがわかります.実は,$140$ 円切手や $280$ 円切手をいくつ買ったかはわからないところがこの問題の面白いところです. 考え...
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積が一定の互いに素な $3$ 数の組の個数|思考力を鍛える数学

$47!=1\times 2\times \cdots \times 47$ のことです.題材は整数ですが,個数を数える問題なので,組合せの問題です.$47!$ はとても大きな数なので,問題の条件を満たす $a,b,c$ の組も非常にたく...
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平方根の定義と基本的な公式|思考力を鍛える数学

$a$ を実数とします.$2$ 乗すると $a$ になる数のことを $a$ の平方根と言います.言い換えると,$a$ の平方根とは,$2$ 次方程式 $$x^2=a$$ の解のことです. 正の実数 $a$ の平方根は必ず $2$ つあり,そ...
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整数部分と小数部分|思考力を鍛える数学

整数部分と,小数部分の基本事項について解説します. すべての実数に対して,整数部分と小数部分と呼ばれる数がそれぞれただひとつ定まります.実数をこれら $2$ つの部分にわける操作は基本的で,時に重要な役割を演じます. それぞれ,以下のように...
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同じ色の玉が $3$ つ以上連続しない並べ方|思考力を鍛える数学

制約条件のついた数え上げの問題です.単に,赤球と青球を $5$ つずつ一列に並べるだけなら,その並べ方は ${}_{10} \mathrm{C} _5=252$ 通りあります.ところが,同じ色の球が $3$ つ以上連続しないという制約条件...
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$3$ 点が同一直線上にあるための条件|思考力を鍛える数学

平面上の $3$ 点が同一直線上にあるための条件を複素数を用いて表します. 複素数平面上で,$3$ 点が同一直線上にあるための条件はつぎのように簡潔に表すことができます.ここでは,状況を簡単にするために $3$ 点は相異なるとしておきます....
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2つの整数がともに素数となる条件|思考力を鍛える数学

素数とは,$1$ と自分自身以外に約数をもたない整数のことです. 自然数 $n$ をひとつ定めると,$2^n-1,2^n+1$ はともに整数となりますが,このとき,$2^n-1,2^n+1$ がともに素数となるような $n$ をすべて求め...
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$5$ つの領域の塗り分け|思考力を鍛える数学

組合せ分野の,標準的な塗り分け問題です.この手の問題は一度は解いたことがあるのではないでしょうか. 考え方・ヒント まず簡単にわかることは,領域は $5$ つなので使う色の種類は $5$ 色以下です.さらに $3$ 色以上必要であることも...
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直角三角形と内心|思考力を鍛える数学

直角三角形 $ABC$ からいろいろ線をひいてできる点 $D$ が,ある三角形の内心になっていることを証明する問題です.三角形の各頂角の二等分線は一点で交わり,その交点を三角形の内心といいます.問に従って図を描くと,たとえば下のようになり...
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