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四角形が円に外接するための必要十分条件|思考力を鍛える数学

円に内接する四角形はメジャーですが,今回はそれよりもマイナーな,円に外接する四角形についてです. どのような三角形も必ず内接円をもちます.つまり,三角形の $3$ 辺と接するような円が存在します.ところが,四角形の場合はそうではありません....
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相加相乗平均の不等式|思考力を鍛える数学

絶対不等式のうち,最も重要な相加相乗平均の不等式について解説します. 相加相乗平均の不等式: $n$ 個の実数 $x_1,x_2,...,x_n$ がすべて $0$ 以上のとき,次の不等式が成り立つ. $$\large \frac{x_1+...
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複素数の相当と四則演算|思考力を鍛える数学

$x,y$ をそれぞれ実数として,$i$ を虚数単位 (つまり, $2$ 乗して $-1$ になる数) とするとき, $$x+yi$$ と表される数を複素数と呼びます. 注意 複素数には,大小関係が存在しません!実数の範囲内であれば,$2$...
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$1$ 次合同式の解の個数|思考力を鍛える数学

学校教育では学ぶ機会が少ない $1$ 次合同式の理論について解説します. 普通の数の世界で方程式を解くことを考えたように,合同式の世界でも方程式を解くということを考えることができます.ここでは最も簡単な $1$ 次合同式について考えてみまし...
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対称式,交代式,基本対称式|思考力を鍛える数学

主に $2$ 変数と $3$ 変数の場合について,対称式,交代式,基本対称式の基本事項について解説します. 文字のどの $2$ つの入れ替えに対しても不変な多項式のことを対称式と言う. たとえば,$2$ 変数多項式 $x+y^2$ について...
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三角形の面積のいろいろな表し方|思考力を鍛える数学

三角形の面積のいろいろな表し方についてまとめました. 底辺を $x$, 高さを $y$ とすると,三角形の面積 $S$ は次のように表せる. $$\large S=\frac{1}{2}xy$$ おそらく一番最初に習う三角形の面積の公式です...
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数列の基礎の基礎|思考力を鍛える数学

自然数 $1,2,3,...$ のそれぞれに,一つずつの数 $a_1,a_2,a_3,...$ を対応させて作った数の列を数列と言います. たとえば, $12$ の約数をならべたもの: $1,2,3,4,6,12$ 偶数をならべたもの: $...
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積と和で表された関数方程式|思考力を鍛える数学

初歩的な関数方程式の問題です.このような類の問題に不慣れな方は何をすればいいか戸惑うかもしれません.写像 $f$ は任意の $x,y$ に対して,ある等式を満たします.この等式の情報のみを用いて写像の式を具体的に求めるという問題です.関数...
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多項式の基礎知識|思考力を鍛える数学

単項式とは,数や文字,あるいはそれらをかけあわせてできる文字式のことです.たとえば,$3,-2a,12xy^2$ などは単項式です.単項式において,数の部分をその単項式の係数といい,かけあわせた文字の個数をその単項式の次数といいます. たと...
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三角比のいろいろな値|思考力を鍛える数学

比較的きれいな有理式で表せる三角比の値を紹介します. 以下の表は,$0°$ から $90°$ までの主な $\sin$ と $\cos$ の値です.角度が整数度であるような三角比の値が,簡単な式で表せる場合はあまり多くありません.その中でも...
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