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円と直線の位置関係|思考力を鍛える数学

円と直線の位置関係を,それぞれの式を利用して判断する方法を $2$ 通り紹介します. 平面上に円と直線が位置しているとき,これらふたつの位置関係は次の $3$ パターンあります. どのような条件が成り立つとき,どのパターンになるのでしょう...
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円の方程式の表し方|思考力を鍛える数学

座標平面上で,円の方程式はどのようにして表せるでしょうか. まず,原点から距離 $r (r>0)$ の位置にある点 $P(x,y)$ を考えます. このような点 $P$ の全体 (つまり,原点から距離 $r$ の位置にある点を無数...
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メネラウスの定理とその覚え方|思考力を鍛える数学

メネラウスの定理とは,三角形と,その頂点を通らないひとつの直線があるときに成り立つ線分の比に関する定理です.証明は平行線と比の定理を $2$ 回用いることにより示せます. メネラウスの定理: $△ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ または...
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接弦定理と接弦定理の逆|思考力を鍛える数学

接弦定理: 円 $O$ の弦 $AB$ と,点 $A$ における接線 $AT$ とのなす角 $\angle BAT$ は,その角の内部に含まれる弧 $AB$ に対する円周角 $\angle ACB$ に等しい. 一般に,円 $O$ とその...
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コーシー・シュワルツの不等式|思考力を鍛える数学

相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式: 実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n, b_1,b_2,\cdots,b_n$ について...
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よく使う因数分解・展開の公式まとめ|思考力を鍛える数学

数式処理の基本である因数分解と展開の公式をまとめました. 以下は絶対に覚えておくべき基本的な因数分解・展開公式です. がんばって暗記するようなものではなく,ふつうに数学をしていると,あまりに使う頻度が多すぎて自然と身に付いてしまう類のもので...
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累乗の和の公式|思考力を鍛える数学

累乗の和の公式: $$\large \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$$ $$\large \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ $$\large \sum_{...
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中点連結定理|思考力を鍛える数学

平面図形の基本的な定理である中点連結定理とその逆について紹介します. 中点連結定理とは,三角形の2辺の中点同士を結んだ線分に関する定理です.具体的には次のような主張です. 中点連結定理: $△ABC$ について,辺 $AB,AC$ の中点を...
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等差数列について|思考力を鍛える数学

最も基本的な数列である等差数列について解説します. $$1,3,5,7,9,11,13,15,\cdots$$ は初項 $1$ に一定の数 $2$ を次々に足していった数列です. 一般に,数列 $\{a_n\}$ において,各項に一定の数 ...
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数についての基本的なこと|思考力を鍛える数学

下図に数の種類をまとめました.ややこしくなるのを避けるために $2$ つに分けています. 実数は有理数と無理数のふたつにわけられます.小数で表したとき,有限でとまるか,循環するものが,有理数で,循環せずに無限につづくものが無理数です. さ...
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