Uncategorized Spernerの補題|思考力を鍛える数学
Spernerの補題とは，ブラウワーの不動点定理の組合せ的なアナロジーとして知られている命題です． 本記事ではブラウワーの不動点定理との関連は解説せずに，Spernerの補題の主張と証明を紹介します．
Spernerの補題はそれ自体面白い命...
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Uncategorized 六角形の面積|思考力を鍛える数学
直角三角形 $ABC$ があり，$\triangle ABC$ の各辺と辺を共有するように $3$ つの正方形が接しています．このとき，六角形 $DEFGHI$ (下図の赤い部分)の面積を求めるのが問題です．
一見，簡単そうですが，きれ...
Uncategorized 5人の海賊|思考力を鍛える数学
Five Pirates と呼ばれる古典的で有名な論理パズルの問題です．調べればすぐ解説記事が出てきます． 問題の意味を詳しく説明しましょう．船の上に $5$ 人の海賊がいます．便宜上，これらの海賊の年齢は全て異なるとしておきます．たとえ...
Uncategorized 素数の逆数和が発散することの証明|思考力を鍛える数学
・ 等比級数の和の公式 $$1+r+r^2+\cdots=\frac{1}{1-r} (0 \le r < 1)$$ ・ 対数関数の性質 $$\log ab=\log a+\log b，\log \frac{1}{a}=-\log...
Uncategorized $1$ 次不定方程式 $ax+by=1$ の $2$ 通りの解き方|思考力を鍛える数学
1次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解を求める方法を紹介します．
$x, y$ に関する $2$ 元 $1$ 次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解を求めます．ここで，$a,b$ はともに整数であるとします．たとえば， $$3x+...
Uncategorized 下四桁の数の特定|思考力を鍛える数学
$11^{100}$ は $11$ を $100$ 回かけた数のことです．これはとんでもなく大きな数になるわけですが，その数の下四桁だけを求めるのが問題です．下四桁とは十進法で表記したときのうしろから４つの数のことを指しています．たとえば...
Uncategorized レイリーの定理|思考力を鍛える数学
二つの無理数によって，自然数全体は二つに分割されるという，とても不思議できれいな定理を紹介します．
レイリーの定理とは，二つの無理数が自然数全体を二つに分割するという一風変わった定理です．
レイリーの定理：$\frac{1}{r}+\fra...
Uncategorized 正十一角形の $3$ 彩色|思考力を鍛える数学
正十一角形の頂点を $3$ 色の色 赤，青，緑に彩色します．ただし，赤色の頂点の個数は奇数個，青色の頂点の個数も奇数個，緑色の頂点の個数も奇数個となるようにします．たとえば，下図はそのような彩色の例です．
このとき，図のように，$3$ ...
Uncategorized ガウス記号の基礎的なこと|思考力を鍛える数学
ガウス記号の基礎事項について解説します．まず，整数部分，小数部分とは次のようなものです．
整数部分: 実数 $x$ に対して，$x$ を超えない最大の整数がただひとつ存在し，それを $$ と書き，$x$ の整数部分と呼ぶ．
小数部分: 実...
Uncategorized 2 つの円の位置関係|思考力を鍛える数学
平面上の $2$ つの円の位置関係の分類について解説します．
平面上に $2$ つの円があるとき，それらの位置関係は以下の $5$ つのパターンに分類されます．
外部，内部にあるときは共有点は $0$ 個であり，内接，外接のときは共有点は...