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$1$ 変数多項式の最大公約数，最小公倍数の定義と例を紹介します． まずは，整数の最大公約数，最小公倍数について復習しましょう．この記事では，約数や倍数といえば常に自然数の範囲で考えることにします． $2$ つ以上の整数において，それらに共...

集合 $S=\{1,2,...,10\}$ の空でない部分集合は $2^{10}-1$ 個あります．このうち，$2^9+1$ 以上 (つまり，だいたい半分より多く)の部分集合を好きなように選びます．どのように選んだとしても，そのうちのどれ...

分数同士の大きさの比較を，図形的意味を考えることで直感的に理解する方法を紹介します． いくつかの分数が与えられたとき，それらを組み合わせてできる新しい分数ともとの分数との大きさの関係に関する一連の公式群を加比の理といいます．たとえば，以下は...

2つの数列の積和を一方の数列の部分和と，もう一方の数列の差分で表現する公式を紹介します． アーベルの総和公式とは，積和に関する以下の等式です．これはかなりマニアックな公式で，数学オリンピックなどで稀に関連する問題が出題されています．覚えてお...

$1$ から $2n$ までの $2n$ 個の数を要素数の等しい $2$ つのグループにわけることを考えます．一方のグループを数の大きい順に並べて，もう一方のグループを数の小さい順に並べます．そして，それらの差の絶対値の総和を計算すると，...

相加相乗平均の不等式の拡張である，重みつき相加相乗平均の不等式とその証明を紹介します． 重みつき相加相乗平均の不等式とは，相加相乗平均の不等式を一般化したつぎの不等式のことです． 重みつき相加相乗平均の不等式：　$\alpha_1,...,...

連立方程式の問題です．問題文を方程式で表すことは難しくありません．いかにしてこの見慣れない連立方程式に取り組むかが今回の課題です．連立方程式が巡回していることがひとつの鍵となります． ヒント・考え方 まず，与えられた条件を方程式で表してみ...

不等式の証明問題です．左辺はべき乗の形をしています．右辺は階乗の形をしています． 例えば，$n=1$のときは， $$1^1 \ge 1!$$ となり明らかに成り立ちます． $n=2$のときは， $$2^3 \ge 3!$$ すなわち $$...

正直者と嘘つきの論理の問題です．この手の問題 (正直者と嘘つきが登場する問題) を初めて見た人にとっては少し手強いかもしれません．この手の問題はいろいろなバリエーションがあって面白いものが多いので，興味のある人はぜひ調べてみてほしいです．...