不等式の証明問題です．左辺は $2020$ 個の有理数の和になっていて，右辺は $2021$ 個の項の和から $2021$ をひいたものになっています．右辺は直接計算できそうですが，左辺を直接計算するのは難しそうです．どのように工夫すればよいでしょうか．高校数学程度の知識が必要になるかもしれません．
ヒント・考え方
右辺の $\frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$ は計算できますが，左辺を直接するのは難しそうです．したがって，なんらかの工夫をして不等式評価をしなければいけなさそうです．
両辺の式の項数に注目すると，左辺は $2020$ 個で，右辺は $2022$ 個の項があります．項数が異なるのは美しくないので，右辺の $2021$ を左辺にとりあえず移行してみましょう．すると， $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+2021 \ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$$ となります．この式を眺めてみると，左辺の最後の項の $2021$ だけ浮いている感じがします．どうにか他の項と形を揃えようとしてみると， $$2021= \frac{2021^2}{2021+0}$$ とかけます．こうしてみると，なんとなく方針が見えてくるのではないでしょうか．
解答例
右辺の $2021$ を左辺へ移行すると， $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+2021 \ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$$ となります．したがって， $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+\frac{2021^2}{2021+0} \ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$$ が成り立ちます．両辺に $0$ を加えることにより， $$\frac{0^2}{0+1}+\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+\frac{2021^2}{2021+0} \ge \frac{1}{2}(0+1+2+\cdots + 2021)$$ とかけます．したがって，より一般に，数列 $\{a_i\}_{i=0}^{n+1}$ に対して，以下の不等式 $①$ を示せばよいことになります．ただし，$a_{n+1}=a_{0}$ かつ $a_i \ge 0\ (0\le i \le n+1)$ とします． $$\sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2}{a_i+a_{i+1}} \ge \frac{1}{2}\sum_{i=0}^n a_i\ \ \cdots ①$$ 実際，上の不等式において，$n=2021,\ a_i = i\ (0\le i \le 2021),\ a_{2022}=0$ とおけば示すべき不等式が得られます．よって，以下では不等式 $①$ を示します． ここで， $$S_n = \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ $$T_n = \sum_{i=0}^n \frac{{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ とおきます．すると， $$S_n-T_n= \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2-{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ $$=\sum_{i=0}^n \frac{(a_i-a_{i+1})(a_i+a_{i+1})}{a_i+a_{i+1}}=\sum_{i=0}^n (a_i-a_{i+1})= 0$$ が成り立ちます．最後の等号は $a_{n+1}=a_{0}$ であることから従います．したがって， $$S_n = T_n$$ となります．したがって， $$S_n = \frac{1}{2}(S_n+T_n)= \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2+{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ が得られます． 不等式 $①$ の左辺は $S_n$ だったので，結局 $$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2+{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ を下から評価すればよいことになります．ここで，和の中身の式に注目します． 一般に，$x,y $ を非負実数とすると相加相乗平均の不等式から， $$\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge \frac{1}{2}(x+y)$$ が成り立ちます．したがって， $$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2+{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}\ge \frac{1}{4}\sum_{i=0}^n (a_i+a_{i+1})= \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n a_i$$ が得られます．よって， $$S_n \ge \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n a_i$$ となります．以上より，不等式 $①$ が示せたので，問題の不等式も成立します．
巡回不等式をつくりだすことに気付けるかがポイントです．
