ホーム >> 代数 >> 有理数の和の不等式の証明
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問題の説明

不等式の証明問題です.左辺は $2020$ 個の有理数の和になっていて,右辺は $2021$ 個の項の和から $2021$ をひいたものになっています.右辺は直接計算できそうですが,左辺を直接計算するのは難しそうです.どのように工夫すればよいでしょうか.高校数学程度の知識が必要になるかもしれません.

ヒント・考え方

右辺の $\frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$ は計算できますが,左辺を直接するのは難しそうです.したがって,なんらかの工夫をして不等式評価をしなければいけなさそうです.

両辺の式の項数に注目すると,左辺は $2020$ 個で,右辺は $2022$ 個の項があります.項数が異なるのは美しくないので,右辺の $2021$ を左辺にとりあえず移行してみましょう.すると, $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+2021 \ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$$ となります.この式を眺めてみると,左辺の最後の項の $2021$ だけ浮いている感じがします.どうにか他の項と形を揃えようとしてみると, $$2021= \frac{2021^2}{2021+0}$$ とかけます.こうしてみると,なんとなく方針が見えてくるのではないでしょうか.

解答例

右辺の $2021$ を左辺へ移行すると, $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+2021 \ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$$ となります.したがって, $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+\frac{2021^2}{2021+0} \ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)$$ が成り立ちます.両辺に $0$ を加えることにより, $$\frac{0^2}{0+1}+\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}+\frac{2021^2}{2021+0} \ge \frac{1}{2}(0+1+2+\cdots + 2021)$$ とかけます.したがって,より一般に,数列 $\{a_i\}_{i=0}^{n+1}$ に対して,以下の不等式 $①$ を示せばよいことになります.ただし,$a_{n+1}=a_{0}$ かつ $a_i \ge 0\ (0\le i \le n+1)$ とします. $$\sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2}{a_i+a_{i+1}} \ge \frac{1}{2}\sum_{i=0}^n a_i\ \ \cdots ①$$ 実際,上の不等式において,$n=2021,\ a_i = i\ (0\le i \le 2021),\ a_{2022}=0$ とおけば示すべき不等式が得られます.よって,以下では不等式 $①$ を示します. ここで, $$S_n = \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ $$T_n = \sum_{i=0}^n \frac{{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ とおきます.すると, $$S_n-T_n= \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2-{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ $$=\sum_{i=0}^n \frac{(a_i-a_{i+1})(a_i+a_{i+1})}{a_i+a_{i+1}}=\sum_{i=0}^n (a_i-a_{i+1})= 0$$ が成り立ちます.最後の等号は $a_{n+1}=a_{0}$ であることから従います.したがって, $$S_n = T_n$$ となります.したがって, $$S_n = \frac{1}{2}(S_n+T_n)= \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2+{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ が得られます. 不等式 $①$ の左辺は $S_n$ だったので,結局 $$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2+{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}$$ を下から評価すればよいことになります.ここで,和の中身の式に注目します. 一般に,$x,y $ を非負実数とすると相加相乗平均の不等式から, $$\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge \frac{1}{2}(x+y)$$ が成り立ちます.したがって, $$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^n \frac{{a_i}^2+{a_{i+1}}^2}{a_i+a_{i+1}}\ge \frac{1}{4}\sum_{i=0}^n (a_i+a_{i+1})= \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n a_i$$ が得られます.よって, $$S_n \ge \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n a_i$$ となります.以上より,不等式 $①$ が示せたので,問題の不等式も成立します.


巡回不等式をつくりだすことに気付けるかがポイントです.