標準的な整数問題です.与えられた式は分数の形をしていますが,整数 $x$ がある値のときは,整数となります.そのような $x$ をすべて見つける問題です.
整数問題ですが,関数の知識が役に立ちます.分子・分母をそれぞれ $x$ の関数として考えると,分子は一次関数,分母は二次関数となっています.したがって,$x$ が大きくなるほど分母は分子に比べてより大きくなります.
ここで,
$$0 <\left|\frac{3x+1}{x^2+3} \right| < 1$$
のとき,与えられた分数は整数になりません.したがって,$x$ がある値より小さいときのみを調べればよさそうです.
(1) $x > 2$ のとき
$(x-1)(x-2) > 0$ なので,
$$0 < \frac{3x+1}{x^2+3} < 1$$
です.したがって,このとき与えられた式は整数になりません.
(2) $x=0,1,2$ のとき
与えられた式が整数となるのは $x=1,2$ のときのみです.
(3) $x < 0$ のとき
$$-1 < \frac{3x+1}{x^2+3} < 0$$
なので整数になりません.
以上より,
$$\frac{3x+1}{x^2+3} $$
が整数となるのは $x=1,2$ のときです.