ホーム >> 整数 >> 分数が整数となるときを調べる
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問題の説明

標準的な整数問題です.与えられた式は分数の形をしていますが,整数 $x$ がある値のときは,整数となります.そのような $x$ をすべて見つける問題です.

ヒント-分子・分母をそれぞれ関数としてみる-

整数問題ですが,関数の知識が役に立ちます.分子・分母をそれぞれ $x$ の関数として考えると,分子は一次関数,分母は二次関数となっています.したがって,$x$ が大きくなるほど分母は分子に比べてより大きくなります.

ここで, $$0 <\left|\frac{3x+1}{x^2+3} \right| < 1$$ のとき,与えられた分数は整数になりません.したがって,$x$ がある値より小さいときのみを調べればよさそうです.

解答例

(1) $x > 2$ のとき
$(x-1)(x-2) > 0$ なので, $$0 < \frac{3x+1}{x^2+3} < 1$$ です.したがって,このとき与えられた式は整数になりません.

(2) $x=0,1,2$ のとき
与えられた式が整数となるのは $x=1,2$ のときのみです.

(3) $x < 0$ のとき
$$-1 < \frac{3x+1}{x^2+3} < 0$$ なので整数になりません.

以上より, $$\frac{3x+1}{x^2+3} $$ が整数となるのは $x=1,2$ のときです.