3つの直角三角形とその内接円に関する問題です．図形の問題ですので，まずは図を書いてみましょう．
$△ABC$の内接円は書くと図が混雑するのであえて書きませんでした．図を書くときは，全部を一つの図に書くのではなく，部分的な箇所だけ書いたほうがスッキリするので良いです．図を書くと，$PQ$の長さが，$△ABD，△CBD$の内接円の半径で表せそうなことがわかります．そこから紐解いていきましょう．
PQと$r_1,r_2$
$△ABD，△CBD$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,r_2$とする．このとき，三平方の定理から， $$PQ^2=(r_1+r_2)^2+(r_1-r_2)^2=2(r_1^2+r_2^2)$$ となることがわかります．
さて，次に$AB=c,BC=a,CA=b$とおくと，$AD,BD,DC$の長さを$a,b,c$を用いて表すことができます．
相似比
$△ABD∽△ACB$より，$AD=\frac{c^2}{b}，BD=\frac{ac}{b}$がわかります．
これより，$DC=\frac{a^2}{b}$であることもわかります．次に，内接円と三角形の面積に関する次の重要な事実を用います．
内接円と三角形の面積
一般に，$XY=z,YZ=x,ZX=y$である三角形の内接円の半径を$R$とすると，三角形の面積$S$は， $$S=\frac{1}{2}R(x+y+z)$$
この事実をそれぞれの直角三角形に適用しましょう．それぞれの三角形は直角三角形なので，その面積は$a,b,c$などを用いて表されます．したがって，$r,r_1,r_2$をそれぞれ$a,b,c$を用いて表すことができます．
結論
上の事実を$△ABC,△ABD,△CBD$のそれぞれに適用すると， $$r=\frac{ac}{a+b+c}$$ $$r_1=\frac{ac^2}{b(a+b+c)}$$ $$r_2=\frac{a^2c}{b(a+b+c)}$$ が得られます．これより， $$r_1^2+r_2^2=r^2$$ となるので，$PQ=\sqrt{2}r$が示せました．
図形的なセンスよりは計算力が問われています．
