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階乗記号 $!$ の意味と性質について解説します.




階乗 $!$ の定義

$1$ から $n$ までの自然数の積 $1\times 2 \times 3 \times \cdots \times n$ を $n!$ で表す.

たとえば,$2!=2\times 1=2$, $3!=3\times 2\times 1=6$ などとなります.いちいち $1\times 2\times 3 \times \cdots \times n$ などと書くのは面倒なので,$n!$ と略記すれば,簡潔に表現できて便利です.

また,$0!=1$ と定めます. 理由はいろいろありますが,ここでは詳しく述べません.そのように定めるのが自然であるということです.

階乗 $!$ の意味

$n!$ という数は,ものの組み合わせの数を考える上で自然に現れます.たとえば,$3$ 人の人 $A,B,C$ を横一列に並べる並べ方は,以下のように $6$ 通りです. \begin{array}{ccc} A & B & C \\ A & C & B \\ B & A & C \\ B & C & A \\ C & A & B \\ C & B & A \\ \end{array} 一番左に配置する人は $A,B,C$ のいずれか $3$ 通りで,真ん中に配置する人は残りの $2$ 人のいずれかで $2$ 通り,最後に残ったひとりを配置するので,並べ方は,$3\times 2\times 1=6$ 通りです.

同様に $n$ 人の人を横一列に並べる並べ方は $n!$ 通りあります.したがって,$n!$ というのは異なる $n$ 個のものを一列に並べる並べ方に相当します.

また,$n$ 個のものから順序を考慮せずに $k$ 個選ぶ選び方は $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ となります.このように,階乗は,組み合わせを考える上で非常に大切な概念なのです.

階乗 $!$ の性質

$n!$ の増大度

$n$ が大きくなるにつれて,$n!$ は非常に大きくなります.
\begin{array}{c|l} n & n! \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 6 \\ 4 & 24 \\ 5 & 120 \\ 6 & 720 \\ 7 & 5040 \\ 8 & 40320 \\ 9 & 362880 \\ 10 & 3628800 \\ \end{array} どれほどのスピードで大きくなるかというと,多項式関数や,指数関数よりも早く増加します.たとえば, $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{100}}{n!}= 0$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{100^n}{n!}= 0$$ となります.これは,$n$ が十分大きい値をとるとき,$n!$ は $n^{100}$ や,$100^n$ などよりも圧倒的に大きくなるということを示しています.

$1$ から $n$ までの数の倍数

当然のことですが,$n!$ は $1$ から $n$ までのすべての自然数の倍数です.より一般に,連続する $k$ 個の自然数の積は $1$ から $k$ までのすべての自然数の倍数です.これは,$1 \le r \le k$ とすると,連続する $k$ 個の自然数の中に,$r$ の倍数である数が少なくともひとつは存在するからです.

たとえば,連続する $5$ 個の自然数 $4,5,6,7,8$ の積 $4\times 5 \times 6 \times 7 \times 8=6720$ を考えると,これは,$2$ の倍数であり,$3$ の倍数であり,$4$ の倍数であり,$5$ の倍数です.

では,最後に以下の問題を解いてみてください.思いつけば一発で解けます.

 $2$ から $1000$ までのいかなる自然数の倍数にもならないような自然数をひとつ見つけよ.


一つ飛ばしの数の積を表す二重階乗なる記号も存在します.