思考力を鍛える数学

$2007$年度の京都大学の入試問題の類題です．階段を$1$歩または$2$歩で昇る問題は中学受験でもよくある問題ですが，今回は$1$歩で$1$段昇ることは連続しないという条件がついています．この処理がポイントになります． まずは$15$段...

整数解の組をすべて決定する問題です．整数の組を代入してすべてを調べ尽くすことは不可能なので，ある程度条件を絞らなけばなりません．基本的に整数解をすべて決定する問題は次のいずれかの方法で条件を絞ることが可能です． 方法1. 余りに注目して解...

論証力と思考力を必要とする問題です．登山家が山登りをする問題ですが，休憩のみが問題となっていることに注意してください．また，個々の休憩の長さ等もあまり重要なことではありません．ただ，同時刻に休憩をとっていた登山家の人数に焦点が当たっていま...

オイラー予想とは，スイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラーが提唱した，フェルマーの最終定理を発展させた数学の予想です．フェルマーの最終定理とはよく知られているように， フェルマーの最終定理: $3$以上の自然数$n$に対して， $$x^...

標準的な整数問題です．与えられた式は分数の形をしていますが，整数 $x$ がある値のときは，整数となります．そのような $x$ をすべて見つける問題です． ヒント-分子・分母をそれぞれ関数としてみる- 整数問題ですが，関数の知識が役に立ち...

説明のために$6$種類のカードをそれぞれ$A,B,C,D,E,F$としましょう．合計$120$枚のカードを何人かの子供に分け与えます．このとき，$1$人の子供に対して同じ種類のカードを$2$枚以上は配りません． 問題文最後の条件は，$2$...

三角比の練習問題のつもりで出題しました．($1$) は初等幾何の知識のみで解けます．また，三角比を用いて順番に長さを求めていっても求まります．($2$) は解き方によっては多少計算が複雑になるかもしれません．また，答えの表示の仕方はいろい...

$a+b+c$ を満たす非負整数 $a,b,c$ の組は全部で，${}_{7+2} \mathrm{C} _{2}=36$ 通りあります．$36$ 通りすべてについて ${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} ...

グラフ理論の問題ですが，特別な知識は必要ありません．以下では，状況を簡略化するために，人を点で表し，『$2$ 人が互いに知り合いである』という状況を， $2$ 点を線分で結ぶことで表します．同様に，『$2$ 人が互いに知り合いでない』とい...

ピースを組み合わせて大きな正方形をつくるパズルの問題です．ピースを奇数個しか用いてはいけないことに注意してください．もし，偶数個用いることができるならば，$2$ 個組み合わせて，以下の様な $3 \times 4$ の長方形がつくれます．...