ホーム >> 幾何 >> 正方形と内部の点 $P$
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問題の説明

正方形の内部に点が与えられた図形に関する求角問題です.

解答

下図のように,$△BPC$ を点 $C$ を中心に時計回りに $90°$ 回転させた図形を $△DP'C$ とします.

このとき, $$P'D=PB=2,P'C=PC=4$$ です.さらに,$90°$ 回転させたので, $$\angle PCP'=90°$$ となっています.
よって,$△PCP'$ は $PC=P'C$ の直角二等辺三角形です.
ゆえに,$PP'=4\sqrt{2}$ です.

すると, $$PD^2=36$$ $$PP'^2+DP'^2=32+4=36$$ であり, $$PD^2=PP'^2+DP'^2$$ となるので,$△PP'D$ は $\angle PP'D=90°$ の直角三角形です.
以上より, $$\angle BPC=\angle DP'C=\angle DP'P+\angle CP'P=90°+45°=135°$$ よって,$\boxed{\angle BPC=135°}$ となります.