ホーム >> 代数 >> 制約条件のある分数式の値
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問題の説明

実数 $x$ は,$x^2-x-1=0$ を満たすので,これを解くと, $$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$ であり,この値を与式に代入すると原理的には答えはでますが,計算が非常に面倒です.式変形を工夫すると,より簡単に答えを求めることができます.

ヒント

$2$ 次方程式が与えられたら,反射的に解を求めてしまいがちですが,この問題では,$x^2-x-1=0$ の解をもとめなくても答えが出せます.

解答

与式の両辺を $x^{16}$ で割ると, $$\frac{x^{16}-\frac{1}{x^{16}}}{2x-1} \cdots (\ast)$$ となります.ここで,条件 $x^2-x-1=0$ より,$x=1+\frac{1}{x}$ です.これを$(\ast)$の分母に代入して, $$2x-1=x+x-1=x+1+\frac{1}{x}-1=x+\frac{1}{x}$$ さらに $(\ast)$ の分子を因数分解すると, $$x^{16}-\frac{1}{x^{16}}=\left(x^8+\frac{1}{x^8}\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$$ よって, $$(\ast)=\left(x^8+\frac{1}{x^8}\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$$ さて,再び条件 $x^2-x-1=0$ より,$x-\frac{1}{x}=1$ です.これより, $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=3$$ $$x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2=7$$ $$x^8+\frac{1}{x^8}=\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)^2-2=47$$ と順に求まります. よって, $$(\ast)=47\times 7\times 3\times 1=987$$ 答えは $\boxed{987}$ です.