問 多項式の列 $\{f_k(x)\}$ をつぎのように定める. $$・f_0(x)=1,f_1(x)=x$$ $$・f_{k+2}(x)=x\cdot f_{k+1}(x)-f_{k}(x) (k\ge 0)$$ このとき任意の自然数 $m,n$ について,$f_{(m+1)n+m}(x)$ は $f_{m}(x)$ で割り切れることを示せ.
2017/3/29
代数
★★★☆☆
難関大学の入試より少し難しいぐらいの問題です.数列の2項間漸化式の解き方は高校で習いますが,この場合も全く同様にして,多項式列の一般項を求めることができます.最後の結論までたどり着くには,相当の計算力が必要です.
以下,$f_k(x)$ を省略して $f_k$ と書きます.まず,与えられた漸化式の一般項を求めましょう.
与えられた漸化式は,
$$f_{k+2}-xf_{k+1}+f_k=0$$
です.$t$ の $2$ 次方程式
$$t^2-xt+1=0$$
の $2$ 解を $\alpha,\beta$ とすると,解と係数の関係から,
$$\alpha+\beta=x,\alpha\beta=1$$
などが成り立ちます.さらに,漸化式は
$$f_{k+2}-\alpha f_{k+1}=\beta(f_{k+1}-\alpha f_{k})=\beta^2(f_{k}-\alpha f_{k-1})=\cdots=\beta^{k+1}(f_1-\alpha f_0)$$
すなわち,
$$f_{k+2}-\alpha f_{k+1}=\beta^{k+1}(x-\alpha) \cdots ①$$
となります.同様に,
$$f_{k+2}-\beta f_{k+1}=\alpha^{k+1}(x-\beta) \cdots ②$$
①式から②式をひくと,
$$(\beta-\alpha)f_{k+1}=(\beta^{k+1}-\alpha^{k+1})x+(\beta\alpha^{k+1}-\alpha\beta^{k+1}) (k \ge 0)$$
この式は,$k+1=0$ の時も成り立つので,
$$(\beta-\alpha)f_{k}=(\beta^{k}-\alpha^{k})x+(\beta\alpha^{k}-\alpha\beta^{k}) (k \ge 0)$$
ここで,$x=\alpha+\beta$ を代入すると,
$$f_{k}=\frac{(\beta^{k}-\alpha^{k})(\alpha+\beta)+(\beta\alpha^{k}-\alpha\beta^{k})}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{k+1}-\alpha^{k+1}}{\beta-\alpha}$$
よって,
$$\boxed{f_{k}=\frac{\beta^{k+1}-\alpha^{k+1}}{\beta-\alpha}}$$
これが漸化式の一般項になります.
さてここで,公式
$$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\left(\sum_{k=0}^{n} x^{k}y^{n-k}\right)$$
を用いると,
$$f_{(m+1)n+m}(x)=\frac{\beta^{(m+1)(n+1)}-\alpha^{(m+1)(n+1)}}{\beta-\alpha}$$
$$=\frac{\beta^{m+1}-\alpha^{m+1}}{\beta-\alpha}\left(\sum_{k=0}^n \beta^{(m+1)k}\alpha^{(m+1)(n-k)}\right)$$
$$=f_m(x)\left(\color{red}{\underline{\color{black}{\sum_{k=0}^n \beta^{(m+1)k}\alpha^{(m+1)(n-k)}}}}\right)$$
とかけます.$\alpha+\beta=x,\alpha\beta=1$ などから,赤線部分が多項式であることがわかります.
よって,
$f_{(m+1)n+m}(x)$ は $f_{m}(x)$ で割り切れます.