漸化式で定められた多項式列

問題の説明

難関大学の入試より少し難しいぐらいの問題です．数列の２項間漸化式の解き方は高校で習いますが，この場合も全く同様にして，多項式列の一般項を求めることができます．最後の結論までたどり着くには，相当の計算力が必要です．

解答例

以下，$f_k(x)$ を省略して $f_k$ と書きます．まず，与えられた漸化式の一般項を求めましょう．

与えられた漸化式は， $$f_{k+2}-xf_{k+1}+f_k=0$$ です．$t$ の $2$ 次方程式 $$t^2-xt+1=0$$ の $2$ 解を $\alpha，\beta$ とすると，解と係数の関係から， $$\alpha+\beta=x，\alpha\beta=1$$ などが成り立ちます．さらに，漸化式は $$f_{k+2}-\alpha f_{k+1}=\beta(f_{k+1}-\alpha f_{k})=\beta^2(f_{k}-\alpha f_{k-1})=\cdots=\beta^{k+1}(f_1-\alpha f_0)$$ すなわち， $$f_{k+2}-\alpha f_{k+1}=\beta^{k+1}(x-\alpha)　\cdots ①$$ となります．同様に， $$f_{k+2}-\beta f_{k+1}=\alpha^{k+1}(x-\beta)　\cdots ②$$ ①式から②式をひくと， $$(\beta-\alpha)f_{k+1}=(\beta^{k+1}-\alpha^{k+1})x+(\beta\alpha^{k+1}-\alpha\beta^{k+1})　(k \ge 0)$$ この式は，$k+1=0$ の時も成り立つので， $$(\beta-\alpha)f_{k}=(\beta^{k}-\alpha^{k})x+(\beta\alpha^{k}-\alpha\beta^{k})　(k \ge 0)$$ ここで，$x=\alpha+\beta$ を代入すると， $$f_{k}=\frac{(\beta^{k}-\alpha^{k})(\alpha+\beta)+(\beta\alpha^{k}-\alpha\beta^{k})}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{k+1}-\alpha^{k+1}}{\beta-\alpha}$$ よって， $$\boxed{f_{k}=\frac{\beta^{k+1}-\alpha^{k+1}}{\beta-\alpha}}$$ これが漸化式の一般項になります．

さてここで，公式 $$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\left(\sum_{k=0}^{n} x^{k}y^{n-k}\right)$$ を用いると， $$f_{(m+1)n+m}(x)=\frac{\beta^{(m+1)(n+1)}-\alpha^{(m+1)(n+1)}}{\beta-\alpha}$$ $$=\frac{\beta^{m+1}-\alpha^{m+1}}{\beta-\alpha}\left(\sum_{k=0}^n \beta^{(m+1)k}\alpha^{(m+1)(n-k)}\right)$$ $$=f_m(x)\left(\color{red}{\underline{\color{black}{\sum_{k=0}^n \beta^{(m+1)k}\alpha^{(m+1)(n-k)}}}}\right)$$ とかけます．$\alpha+\beta=x，\alpha\beta=1$ などから，赤線部分が多項式であることがわかります．
よって， $f_{(m+1)n+m}(x)$ は $f_{m}(x)$ で割り切れます．