ホーム >> 幾何 >> すべての内角が120度である六角形
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問題の説明

すべての内角が $120°$ である六角形はたとえば下図のような図形になります. 六角形
示すべきことは,向かいあう対辺の差がすべて等しくなることです.

ヒント

上手な補助線をみつければ,ほとんど計算せずに示すことができます.正三角形が力を貸してくれそうです.

解答

下図のように,辺 $AF,BC,DE$ を延長し,$AF,BC$ の交点を $X$,$BC,DE$ の交点を $Y$,$AF,DE$ の交点を $Z$ とします.
六角形
すると,$△ABX,△EFZ,△CDY,△XYZ$ はすべて正三角形になります.それぞれの正三角形の一辺の長さを $a,b,c,s$ とすると, $$AB-DE=a-(s-(b+c))=a+b+c-s$$ $$EF-BC=b-(s-(a+c))=a+b+c-s$$ $$CD-AF=c-(s-(a+b))=a+b+c-s$$ 以上より, $$AB-DE=EF-BC=CD-AF$$ が成り立ちます.