ホーム >> 代数 >> コサインの和の値
hide or visible

問題の説明

三角比の和の値を計算する問題です.見かけ以上に難しい問題かもしれません.$3$ つの項それぞれを具体的な式で書き下そうとするのは大変ですが,$3$ つの和はきれいな値になります.

略解

$z=e^{\frac{2\pi i}{7}}=\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ とすると, $$\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{8\pi}{7}=Re (z+z^2+z^4)$$ です.すなわち求めるべきは $z+z^2+z^4$ の実数部分.
$z^7=1$ であり,$z \neq 1$ なので,$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0$ が成り立ちます.
ここで,$\alpha=z+z^2+z^4,\beta=z^3+z^5+z^6$ とすると,$\alpha+\beta=-1.$
また, $$\alpha\beta=(z+z^2+z^4)(z^3+z^5+z^6)=z^4+z^5+z^6+3+z+z^2+z^3=2$$ したがって,$\alpha,\beta$ は $2$ 次方程式 $x^2+x+2=0$ の解である.この方程式を解くと, $$x=\frac{-1\pm\sqrt{7}i}{2}$$ となる.よって, $$\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{8\pi}{7}=\color{red}{-\frac{1}{2}}$$