3垂線と内接円の半径の関係式

解説

最も簡単なやり方は，三角形の面積に注目する方法でしょう．
三角形の $3$ 辺を $BC=a,CA=b,AB=c$ とし，$△ABC$ の面積を $S$ とすると， $$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$ が成り立ちます．一方，三角形の面積公式 (底辺)×(高さ)÷$2$ を用いれば， $$S=\frac{ah_A}{2}=\frac{bh_B}{2}=\frac{ch_C}{2}$$ です．この式より，$a=\frac{2S}{h_A},b=\frac{2S}{h_B},c=\frac{2S}{h_C}$ なので，これを最初の式に代入すると， $$S=\frac{1}{2}r(\frac{2S}{h_A}+\frac{2S}{h_B}+\frac{2S}{h_C})$$ となります．これより， $$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_A}+\frac{1}{h_B}+\frac{1}{h_C}$$ が導かれます．

三角形の面積を表す公式はいろいろあるので，三角形の面積に注目して方程式をたてると，