鈍角三角形の外心

問題の説明

まずは図を書いてみましょう．$P$から$BC$に下ろした垂線の足を$D$としておきます．さて，$△PBC$は低角$\alpha$の二等辺三角形です．したがって$PB=PC$となります．点$P$が$△ABC$の外心であることを示すためには$PA=PB=PC$を示せばよいです．

解説

$PB=PC$であることはすでにわかっているので，あとは$PA=PC$または$PA=PB$を示せばよいです．$PA=PC$であることを示すことにしましょう．まず，簡単な計算によって，$\angle CPD=\frac{\pi}{2}-\alpha$であることがわかります．ここで，線分$AC$の垂直二等分線と直線$PD$の交点を$Q$とおきます．このとき，$Q$は$△ABC$の外心です．したがって中心角$\angle BQC$は， $$\angle BQC=2(\pi-\angle BAC)=\pi-2\alpha$$ です．よって， $$\angle CQD=\frac{1}{2}\angle BQC=\frac{\pi}{2}-\alpha$$ であることがわかります．$P,Q$は同一直線上の点で，$\angle CPD=\angle CQD=\frac{\pi}{2}-\alpha$なので，点$P$と点$Q$は一致します．つまり点$P$は$△ABC$の外心であることが示せました．

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