hide or visible

ラングレーの問題とは

上の問題はイギリスの数学者エドワード・マン・ラングレー(1851-1933)が1922年に学術雑誌"The Mathematical Gazette"において発表した問題です.様々な解法が知られていますが,ここでは$2$種類の解法を紹介したいと思います.補助線をどう引くかがポイントとなります.

解法1-正三角形を作る-

解法1の図

線分$CD$上に$\angle CBE=20°$となるように点$E$をとります.$△CBE$は二等辺三角形なので$BC=BE$です.また,$△ABC$も二等辺三角形なので$AB=BC$です.したがって$AB=BE$となって,$\angle ABE=60°$なので$△ABE$は正三角形です.さらに,$BED$は二等辺三角形なので$BE=DE$です.したがって$AE=BE=DE$なので,$3$点$A,B,C$は$E$を中心とする同一円周上にあります.よって円周角の定理より$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AEB=30°$となります.

解法2-平行線を引く-

解法2の図

$D$を通り,直線$BC$に平行な線と直線$AB$の交点を$E$とします.また,線分$BD$と線分$CE$の交点を$F$とします.台形$EBCD$は $EB=DC$の等脚台形で, $△FBC$と$△FDE$はともに正三角形です.また,$\angle BAC=\angle BCA$より$BA=BC=BF$なので$△ABF$は二等辺三角形で,$\angle BFA=80°$です.これより$\angle AFE=40°$で,$△BCE$に着目すると,$\angle AEF=\angle BEC=40°$もわかるので,四角形$AEDF$は$AE=AF,DE=DF$の凧型です.したがって$\angle ADB=\angle ADF=30°$となります.


他にも様々な解き方が知られているので,自分なりの解き方をぜひ見つけてみてください.