円に内接する台形

問題の観察

初等幾何の難易度高めの問題です． いろいろな解き方がありそうに見えるので厄介な問題です．まずは考えやすい図を書くことから始めましょう．図を書いてみて，まずはじめに気づくことがあると思います．それが最初のステップです．円に内接する台形とはなんでしょうか．

円に内接する台形

実は円に内接する台形は必ず等脚台形になります．証明はすぐにできるので各自で確かめてみてください．
下図は今回の解答に必要のない線分(たとえば$AD$や$BC$)を省いて書いています．このように必要がなさそうな線分などを省けば図がスッキリして考えやすいです．細かいことですがこのような工夫は数学オリンピックなどの複雑な図形問題を解くときには非常に重要なテクニックです．

さて，準備として円 $\Gamma$ の中心を$O$とします．また，$BE$と$CD$の交点を$Q$,$OP$と円 $\Gamma$ との交点を$R$とおきます．示すべきは$Q$が線分$CD$の中点であることです．そのために，$OQ$と$CD$が垂直に交わっていることを示します．

角度で攻める

$AB$ // $CD$より， $$\angle PQE=\angle ABE$$ です．また，円周角と中心角の関係から， $$\angle AOE=2\angle ABE$$ が成り立ちます．さらに，$R$は明らかに弧 $AE$を二等分しているので， $$\angle EOP=\frac{1}{2}\angle AOE$$ です．これらを組み合わせると， $$\angle PQE=\angle EOP$$ したがって，円周角の定理の逆から$4$点$P,O,Q,E$は同一円周上にあります．よって， $$\angle OQP=\angle OEP=90°$$ となって，$OQ$が$CD$の垂直二等分線であることが示されました．

以上より，$BE$は$CD$を二等分します．

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使っている定理は教科書レベルですが，組み合わせて使うとなると結構大変ですね．