ホーム >> 集合・論理 >> 必要条件と十分条件

変数を含んだ式や文であって,変数の値によって真偽が決まるものを,その変数に関する条件といいます.必要条件十分条件は,$2$ つの条件が与えられたとき,その間の関係を表す言葉です.




必要条件と十分条件とは

定義

必要条件と十分条件: 条件 $p,q$ に対して,命題 『$p \Rightarrow q$ 』がであるとき,
$q$ は $p$ であるための必要条件といい,
$p$ は $q$ であるための十分条件という.

『$p \Rightarrow q$』 は,『$p$ ならば $q$』 と読みます.

説明

おおざっぱに言えば,必要条件と十分条件は $2$ つの条件を比較するための言葉です.
これは,日常生活では,高い $\leftrightarrow$ 低い,強い $\leftrightarrow$ 弱い,広い $\leftrightarrow$ せまい などの用語と同じような使われ方です.

必要条件と十分条件

さらに,次の定義は,"ちょうどぴったり同じ"という概念です.

必要十分条件: 条件 $p,q$ に対して,命題 『$p \Rightarrow q$ 』と命題 『$q \Rightarrow p$』がともにであるとき,すなわち $p \Leftrightarrow q$ が成り立つとき,

$p$ は $q$ であるための必要十分条件という.

($q$ は $p$ であるための必要十分条件ともいえる.)


注意

二つの条件の真偽は,大前提によって変わることがあります.
条件 $p,q$ を
$p\ :\ $ $x=1$
$q\ :\ $ $x^2=1$
としましょう.$p\Rightarrow q$ や $q \Rightarrow p$ の真偽を確かめるためには,$x$ が何なのかを明確にしておく必要があります.
たとえば,大前提として $x$ は実数である とすると,$p \Rightarrow q$ は真ですが,$q \Rightarrow p$ は偽なので ($x=-1$ が反例となる),

$p$ は $q$ であるための十分条件であるが,必要条件ではありません.

一方,大前提として $x$ は自然数である とすると,$p \Rightarrow q,\ q\Rightarrow p$ はともに真なので,

$p$ は $q$ であるための必要十分条件です.

このように,大前提が異なれば,命題の真偽が変わることが容易に起こりえるので注意が必要です.

必要条件と十分条件の確かめ方

必要条件や十分条件を確かめるためには,定義に従えばよいです.つまり,与えられた条件 $p,q$ に対して,ふたつの命題 $p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ の真偽をそれぞれ確かめます.真であることを確かめるには素直に証明をし,偽であることを確かめるには反例をひとつ見つければいいのです.

それらの結果によって,下の表のように $p,q$ の関係が決まります.
必要条件と十分条件の図

例と練習問題

例題と練習問題を通して,必要条件と十分条件をマスターしましょう.多くの例を通して慣れていくうちに,"必要"と"十分"という言葉が感覚的に理解できると思います.

 $n$ を自然数とする.
$n$ が $2$ の倍数であることは,$n^2$ が $4$ の倍数であるための必要十分条件

 $x$ を実数とする.
『$x<-2$ または $x>0$』 は,$x>2$ であるための必要条件

 $a,b,c$ を実数とする.
$a=b$ は,$ac=bc$ であるための十分条件

 $a,b$ を実数とする.
$a+b,ab$ がともに有理数であることは,$a,b$ が有理数であるための必要条件

 $a,b$ を実数とする.
$a^2+b^2=0$ は $a=b=0$ であるための必要十分条件



条件 $p,q$ などに対して,その否定をそれぞれ $\bar{p},\bar{q}$ 等で表します.
否定について,詳しいことは 命題の否定の考え方 を参照してください.

 実数 $x,y,z$ に関する $2$ つの条件 $p,q$ を
$p\ :\ $ $(x-y)(y-z)(z-x)=0$
$q\ :\ $ $x=y=z=0$
とする.
$p$ は $q$ であるための 必要条件

→解説

$q \Rightarrow p$ が成り立つことは明らか.
条件 $p$ は 『$x=y$ または $y=z$ または $z=x$』 と同値である.したがって,$p \Rightarrow q$ は成り立たない.(反例はたとえば,$x=y=1$)

 実数 $x$ に関する $3$ つの条件 $p,q,r$ を
$p\ :\ $ $x$ は有理数
$q\ :\ $ $x+\sqrt{6}$ は無理数
$r\ :\ $ $\sqrt{6}x$ は無理数
とする.
(1) $p$ は $q$ であるための十分条件
(2) $p$ は $r$ であるための必要条件でも十分条件でもない

→解説

(1) $p \Rightarrow q$ は背理法で示せる.$q \Rightarrow p$ は成り立たない.(反例はたとえば,$x=\sqrt{6}$)
(2) $p \Rightarrow r$ は成り立たない.(反例は $x=0$)
$r \Rightarrow p$ も成り立たない.(反例はたとえば,$x=\sqrt{3}$)

 実数 $x$ に関する $2$ つの条件 $p,q$ を
$p\ :\ $ $x=1$
$q\ :\ $ $x^2=1$
とする.
(1) $q$ は $p$ であるための 必要条件
(2) $\bar{p}$ は $q$ であるための 必要条件でも十分条件でもない
(3) ($p$ または $\bar{q}$) は $q$ であるための 必要条件でも十分条件でもない

→解説

(3) $p$ または $\bar{q}$ は,『$x=1$ または $x\neq \pm 1$』と同値.これは, 『$x\neq -1$』と同値.一方,$q$ は 『$x=\pm 1$』 と同値.
したがって,($p$ または $\bar{q}$) $\Rightarrow$ $q$ は成り立たない.(反例はたとえば,$x=2$)
また,($p$ または $\bar{q}$) $\Leftarrow$ $q$ も成り立たない.(反例は $x=1$)

 自然数 $m,n$ に関する $3$ つの条件 $p,q,r$ を
$p\ :\ $ $m+n$ は $2$ の倍数
$q\ :\ $ $m$ と $n$ の少なくとも一方は $4$ の倍数
$r\ :\ $ $m$ は $4$ の倍数であり,かつ $n$ は $2$ の倍数
とする.
(1) $p$ は $\bar{q}$ であるための必要条件でも十分条件でもない
(2) ($p$ かつ $q$) は $r$ であるための必要条件

→解説

(1) まず,条件 $p$ は 『$m,n$ ともに偶数,または $m,n$ ともに奇数』と同値.また,条件 $\bar{q}$ は 『$m,n$ ともに $4$ の倍数でない』である.
$p \Rightarrow \bar{q}$ は成り立たない.(反例はたとえば $(m,n)=(2,2)$)
$p \Leftarrow \bar{q}$ も成り立たない.(反例はたとえば $(m,n)=(1,2)$)

(2) まず,($p$ かつ $q$) は 『($m$ が $4$ の倍数かつ $n$ が $2$ の倍数)または ($m$ が $2$ の倍数かつ $n$ が $4$ の倍数)』と同値.
($p$ かつ $q$) $\Rightarrow r$ は成り立たない. (反例はたとえば $(m,n)=(2,4)$)
一方,($p$ かつ $q$) $\Leftarrow r$ は成り立たない.

 自然数 $n$ に関する $2$ つの条件 $p,q$ を
$p\ :\ $ $n$ は $27$ の倍数
$q\ :\ $ $n^2$ は $243$ の倍数
とする.
$p$ は $q$ であるための 必要十分条件

→解説

$27=3^3,\ 243=3^5$ に注意.
$p \Rightarrow q$ はすぐにわかる.

$q \Rightarrow p$ を示す.
仮定より,$n^2=3^5k$ とおける.($k$ は自然数)
$$n=\sqrt{3^5k}=9\sqrt{3k}$$ $n$ は自然数なので,$\sqrt{3k}$ は自然数.したがって,自然数 $a$ を用いて, $\sqrt{3k}=a$ とおける.両辺 $2$ 乗すると, $$3k=a^2$$ 左辺は $3$ の倍数なので,$a^2$ は $3$ の倍数,したがって,$a$ は $3$ の倍数で, ある自然数 $b$ があって, $$a=3b$$ とかける.
以上より, $$n=9\sqrt{3k}=9\times 3b=27b$$ 大前提として,$n$ が自然数としてあることがポイント.