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1変数多項式の加法・減法

多項式同士の和と差は,同類項をまとめることで計算します.これ以上同類項をまとめることができなくなったら計算終了です.

加法

$$\large (x^3+\color{red}{\underline{\color{black}{x}}}\ \color{blue}{\underline{\color{black}{-1}}})+(x^2+\color{red}{\underline{\color{black}{2x}}}+\color{blue}{\underline{\color{black}{3}}})=x^3+x^2+3x+2$$ $$\large (10x+\color{red}{\underline{\color{black}{5}}})+(2x^3+x^2\color{red}{\underline{\color{black}{-5}}})=2x^3+x^2+10x$$

減法

$$\large (\color{red}{\underline{\color{black}{x^2}}}\ \color{blue}{\underline{\color{black}{-x}}})-(x^3+\color{red}{\underline{\color{black}{3x^2}}}\ \color{blue}{\underline{\color{black}{-2x}}})=-x^3-2x^2+x$$ $$\large (x^3+\color{red}{\underline{\color{black}{2x^2}}}+2)-(\color{red}{\underline{\color{black}{2x^2}}}-3x)=x^3+3x+2$$

1変数多項式の乗法

累乗同士の積

$x,x^2,x^3,・・・$ を $x$ の累乗 (るいじょう) といい,$x^n$ における $n$ を $x^n$ の指数といいます.累乗同士の積については,次の指数法則が成り立ちます.

指数法則
・$x^mx^n=x^{m+n}$ ・$(x^m)^n=x^{mn}$

・$x^2 x^3=x\times x\times x\times x\times x=x^5$
・$(x^3)^4=x^3\times x^3\times x^3\times x^3=x^{12}$

単項式同士の積

単項式同士の積は係数同士の積と,累乗同士の積をわけて考えます.

・$3x^2\times 2x=6x^3$
・$-2x^3\times (-4x^5)=8x^8$
・$(-3x^2)^3\times 2x=-54x^7$

単項式と多項式の積

単項式と多項式の積は,分配法則を用います.
・$x(x^3+2x-3)=x^4+2x^2-3x$
・$-2x^2(x^2-3x+1)=-2x^4+6x^3-2x^2$

多項式同士の積

・$(2x+3)(x+1)=2x(x+1)+3(x+1)=2x^2+2x+3x+3=2x^2+5x+3$
・$(-x-1)(2x+3)=-x(2x+3)-(2x+3)=-2x^2-3x-2x-3=-2x^2-5x-3$
・$(x+3)(2x^2-x+3)=x(2x^2-x+3)+3(2x^2-x+3)=2x^3+5x^2+9$

1変数多項式の除法

数同士の割り算を考えてみましょう.たとえば,$128$ を $9$ で割ると,商は $14$ ,余りは $2$ となります.これは,下のような筆算で計算できるのでした.

さらに,この結果を等式で表すと, $$128=9\times 14+2$$ とかけます.

数同士の割り算と同じように,多項式同士においても同様に割り算が実行できます.

$x^3+5x^2+5x-1$ を $x^2+2x-1$ で割るには,つぎのように行います.

したがって, $$x^3+5x^2+5x-1=(x^2+2x-1)(x+3)+2$$ とかけます.