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正弦定理とは

三角形の辺と角について,次の正弦定理が成り立ちます.

正弦定理: $△ABC$ において,$3$ 辺の長さを $a,b,c,$ 外接円の半径を $R$ とすると,次が成り立つ. $$\large \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

正弦定理

正弦定理は,三角形の辺と対応する角に関する定理です.どのような三角形についても上の公式が成り立ちます.

この定理を用いれば,三角形の隠された辺の長さや角の大きさを求めることができます.

正弦定理の証明

正弦定理は円周角の定理を用いることで証明できます.以下の証明では,鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形の場合にわけて示しています.

証明: $△ABC$ において,$BC=a,CA=b,AB=c$ ,外接円の中心を $O$ とします.

$\large\color{green}{Case1}:$ $△ABC$ が鋭角三角形のとき
下図のように,$O$ から辺 $BC$ に垂線をおろし,その足を $H$ とします.
正弦定理の証明
円周角の定理より, $$\angle BOC=2\angle A$$ です.また,$△BOC$ は $OB=OC$ の二等辺三角形なので,$$\angle COH=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle A$$ したがって,$△COH$ に着目すると, $$\sin A=\frac{a}{2R}$$ すなわち, $$\frac{a}{\sin A}=2R$$ となります.
他の角についても全く同様の議論で成り立ちます.

$\large\color{green}{Case2}:$ $△ABC$ が直角三角形のとき
この場合も,鋭角三角形のときの証明が全く同様にあてはまります.

$\large\color{green}{Case3}:$ $△ABC$ が鈍角三角形のとき
正弦定理の証明
円周角の定理より, $$\angle BOC=2(180°ー\angle A)$$ です.あとは鋭角三角形の場合と同様にして, $$\sin (180°ー\angle A)=\frac{a}{2R}$$ となりますが,$\sin (180°ー\angle A)=\sin A$ なので結局, $$\frac{a}{\sin A}=2R$$ となります.
他の角についても同様です.

三角形の3辺と対応する角の正弦の比

正弦定理を通して,三角形の辺の長さと角の正弦の値について考えてみましょう.
まず,三角形の $3$ 辺の長さの大小は,対応する角の大きさの大小で決まります. つまり,$\angle A \le \angle B \le \angle C$ であることと,$a \le b \le c$ であることは同値です.さて,正弦定理の主張は, $$\large \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$ というものでした.これはつまり, $$\large a:b:c=\sin A :\sin B :\sin C$$ ということです.すなわち$3$ 辺の長さの比と,対応する角のサイン(正弦)の値の比は等しいのです.これは,単に辺の大小が対応する角の大小と一致するということよりも強い主張であり,正弦定理は,三角形の辺の長さと角の関係に関する詳しい情報を教えてくれているのです.

練習問題

 $△ABC$ において,$BC=2,AC=\sqrt{6},B=60°$ のとき,$AB$ の長さを求めよ.

→solution

$AB=c$ とする. 正弦定理より, $$\frac{2}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{\sin 60°}=2\sqrt{2}$$ したがって,$\sin A=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$0°< A < 120°$ より,$A=45°$. つまり $C=75°$. 再び正弦定理より, $$\frac{c}{\sin 75°}=\frac{2}{\sin 45°}$$ $\sin 75°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ なので, $$c=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \times 2\sqrt{2}=1+\sqrt{3}$$ よって,$AB=1+\sqrt{3}$

 $△ABC$ において,$BC=a,CA=b,AB=c$ とする.つぎの等式が成り立つ時,$△ABC$ はどのような三角形か. $$a\sin A+b\sin B=c\sin C$$

→solution

正弦定理より, $$\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$$ これを与えられた等式に代入して, $$a^2+b^2=c^2$$ をえる.よって,$△ABC$ は $\angle C=90°$ である直角三角形.

 下図において,四角形 $ABCD$ は円 $O$ に内接しており.$AC$ は円 $O$ の直径である.$AC=2,\angle BAD=120°$ であるとき,$BD$ の長さを求めよ.

→solution

$△ABD$ の外接円は円 $O$ であり,その半径は $1$ である.したがって,正弦定理より, $$\frac{BD}{\sin 120°}=2$$ ゆえに,$BD=\sqrt{3}$ である.