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三角形と多角形の内角と外角について解説します.




三角形の内角と外角

$△ABC$ において,$\angle A,\angle B,\angle C$ を,$△ABC$ の内角といいます.
三角形の内角
また,下図の $\angle ACD$ や $\angle BCE$ のように,一つの辺とその隣の辺の延長がつくる角を,外角といいます.
三角形の外角
さて,三角形の内角と外角について,次の重要な事実が成り立ちます.

三角形の内角と外角の性質:
(1) 三角形の内角の和は $180°$ である.
(2) 三角形の外角は,それと隣りあわない $2$ つの内角の和に等しい.

これを証明してみましょう.
下図のように $C$ を通り線分 $AB$ に平行な線分をひき,端点を $E$ とします.このとき,錯角は等しいので, $$\angle BAC=\angle ACE$$ さらに,同位角は等しいので, $$\angle ABC=\angle ECD$$ したがって,三角形の内角がすべて頂点 $C$ に集めらるので,その和は $180°$ です.さらに $\angle C$ の外角が頂点 $A$ と $B$ の内角の和であることもわかります. 三角形の内角と外角

多角形の内角と外角

多角形の内角と外角も,三角形の場合と同じです.たとえば,下の図において,赤い角は五角形の内角であり,青い角は五角形の外角です.
多角形の内角と外角

注意

$180°$ より大きい角に関しては,その外角は負の値をとるものとします.これは一見不思議に思うかもしれませんが,そのような方が都合がよいです.たとえば,下の図のような四角形の $\angle D$ の内角は $180°$ を超えています.もし,$\angle D=210°$ だったとしたら,$\angle D$ の外角は $-30°$ と考えます.つまり,内角と外角の和は常に $180°$ です.
多角形の内角と外角

多角形の内角の和

どのような三角形についても,その内角の和は常に $180°$ でした.この事実は一般の多角形についても拡張できます.

多角形の内角の和:
$n$ 角形の内角の和は,$180° \times (n-2)$ である.

上の事実は次のように説明できます.

どのような多角形も,対角線をひくことによって,いくつかの三角形に分割できます.
多角形の内角の和
一般に,$n$ 角形は,$(n-2)$ 個の三角形に分けることができます.このようにして,$n$ 角形を $(n-2)$ 個の三角形に分けたとき,すべての三角形の内角の和は,もとの $n$ 角形の内角の和に等しいです.したがって,$n$ 角形の内角の和は, $$180°\times (n-2)$$ となります.


特に,正多角形について,次の公式が成り立ちます.

正多角形のひとつの内角:
正 $n$ 角形のひとつの内角の大きさは, $$180°\times \frac{n-2}{n} $$

多角形の外角の和

多角形において,各頂点における外角を一つずつとったものの和を,その多角形の外角の和といいます.実は,$n$ 角形の外角の和は $n$ の値によらず一定で,次が成り立ちます.

多角形の外角の和:
多角形の外角の和は,$360°$ である.

上の事実は次のように説明できます.

まず,多角形の各頂点における内角と一つの外角の和は常に $180°$ なので,$n$ 角形の内角と外角の和の合計は, $$180°\times n$$ です.そして,$n$ 角形の外角の和は,これから内角の和をひいたものなので, $$180°\times n -180°\times (n-2)=180°\times n -180°\times n +360°=360°$$ となります.